Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C = C(α) = σ
2
0
K
−1
(1 − α).
H
0
:
µ 6 µ
0
H
1
: µ > µ
0
µ
µ
0
= 0,
x → x + µ
0
.
θ =
nµ
σ
2
, U(X) = X; ϑ = −
1
2 σ
2
, T (X) =
n
X
i=1
X
2
i
.
U(X) = X > C(T ),
C(T ) µ
0
= 0
P
µ
0
X > C(T ) |T = t
= α .
y =
x/
√
t − nx
2
x.
P
µ
0
X
q
T − nX
2
√
n − 1 > C
0
(T ) |T = t
= α .
T
n−1
=
X
q
T − nX
2
√
n − 1,
(0, σ
2
)
σ
2
,
T.
C
0
(T ) T
(n − 1)
îòêóäà C = C(α) = σ02 K −1 (1 − α).
  Òàêèì îáðàçîì, çíàêîìûé íàì èç îáùåãî êóðñà êðèòåðèé, òåñòèðóþùèé
çíà÷åíèå äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, åñòü ÐÍÌ íåñìåùåííûé
êðèòåðèé.
  Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî è êðèòåðèé Ñòüþäåíòà äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 :
µ 6 µ0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : µ > µ0 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÐÍÌ íåñìåùåííûì
êðèòåðèåì. Ïîñêîëüêó µ  ïàðàìåòð ñäâèãà, òî ìîæíî â öåëÿõ ïðîñòîòû
âûêëàäîê ðàññìîòðåòü ñíà÷àëà ñëó÷àé µ0 = 0, à ïîòîì ïðîñòî ñäåëàòü
çàìåíó x → x + µ0 .
  Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè (9.18) ïðåâðàùàåòñÿ â (9.8), åñëè ïîëîæèòü
                                                                  n
            nµ                              1                     X
         θ = 2,       U (X) = X;      ϑ = − 2,          T (X) =         Xi2 .
            σ                              2σ                     i=1

ÐÍÌ íåñìåùåííûé êðèòåðèé ÿâëÿåòñÿ íåðàíäîìèçèðîâàííûì è îïðåäåëÿ-
åòñÿ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ U (X) = X > C(T ), ãäå êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà
C(T ) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ (íàïîìíèì, µ0 = 0 )
                         
                      Pµ0 X > C(T ) | T = t = α .

  Ïðîñòûì èññëåäîâàíèåì ïðîèçâîäíîé ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ y =
  √
x/ t − nx2 åñòü âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà x. Ñëåäîâàòåëüíî, óðà-
âíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷åñêîé êîíñòàíòû ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                                   
                            √
                                                   
                      X               0
                                                    
            Pµ0 q             n − 1 > C (T ) | T = t = α .
                 T − nX 2
                                                   
                                                    

Ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè Ñòüþäåíòà
                                      X         √
                         Tn−1 = q                   n − 1,
                                            2
                                   T − nX
êîãäà âûáîðêà áåðåòñÿ èç íîðìàëüíîãî (0, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ, íå çàâèñèò
îò äèñïåðñèè σ 2 , òî åñòü ýòî ïîä÷èíåííàÿ ñòàòèñòèêà.  ñèëó Òåîðåìû
2.2 îíà íå çàâèñèò îò äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè T. Ïîýòîìó êðèòè÷åñêàÿ
êîíñòàíòà C 0 (T ) íå çàâèñèò îò T è îïðåäåëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì êâàíòèëè
ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ (n − 1) -é ñòåïåíüþ ñâîáîäû.


                                      118

Страницы