Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e ∈ G, ae = ea
a ∈ G.
a ∈ G
a
−1
∈ G aa
−1
= a
−1
a = e.
G X
g
2
g
1
g
1
g
2
, G
x ∈ X
g G; x,
{gx : g ∈ G}.
G X.
ϕ(x), x ∈ X,
G, ϕ(gx) = ϕ(x) x ∈ X g ∈ G.
T = T (x), x ∈ X,
T (x
1
) =
T (x
2
) x
2
= gx
1
g ∈ G, T ( ·)
T
G.
ϕ ϕ x ∈ X T (x),
h(t), t ∈ T, ϕ(x) = h(T (x))
x ∈ X.
ϕ(x) = h(T (x)) x ∈
X, ϕ(gx) = h(T (gx)) = ϕ(x), ϕ
ϕ x T (x)
ϕ X, T.
ϕ T (x
1
) = T (x
2
), x
2
= gx
1
(C) Ñóùåñòâóåò ýëåìåíò e ∈ G, íàçûâàåìûé åäèíèöåé, òàêîé, ÷òî ae = ea
   äëÿ âñåõ a ∈ G.

(D) Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà a ∈ G ñóùåñòâóåò åìó îáðàòíûé ýëåìåíò
   a−1 ∈ G òàêîé, ÷òî aa−1 = a−1 a = e.

    Åñëè ýëåìåíòû G ÿëÿþòñÿ îòîáðàæåíèåì íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà X
   íà ñåáÿ, ïðè÷åì ãðóïïîâîå ïðîèçâåäåíèå g2 g1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåçóëü-
   òàò âûïîëíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòà g1 è ïîñëåäóþùå-
   ãî ïðèìåíåíèÿ ýëåìåíòà g2 , òî G íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé ïðåîáðàçîâàíèé.

  Òî÷êà x ∈ X ïðîáåãàåò òðàåêòîðèþ, êîãäà ê íåé ïðèìåíÿþòñÿ âñå ïðå-
îáðàçîâàíèÿ g èç G; ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òðàåêòîðèÿ, ñîäåðæàùàÿ òî÷êó x,
ñîñòîèò èç ìíîæåñòâà òî÷åê {gx : g ∈ G}. Ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé ãðóïïû
G îáðàçóåò ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà X.
  Ôóíêöèÿ ϕ(x), x ∈ X, íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ãðóïïû
G, åñëè ϕ(gx) = ϕ(x) äëÿ âñåõ x ∈ X è âñåõ g ∈ G. Èç ýòîãî îïðåäå-
ëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ èíâàðèàíòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà
ïîñòîÿííà íà êàæäîé òðàåêòîðèè.
  Ôóíêöèÿ T = T (x), x ∈ X, íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì èíâàðèàíòîì,
åñëè îíà èíâàðèàíòíà è åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå: èç ðàâåíñòâà T (x1 ) =
T (x2 ) ñëåäóåò, ÷òî x2 = gx1 äëÿ íåêîòîðîãî g ∈ G, òî åñòü åñëè T ( · )
ïîñòîÿííà íà êàæäîé òðàåêòîðèè è íà ðàçëè÷íûõ òðàåêòîðèÿõ ïðèíèìàåò
ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.

  Ëåììà 10.1. Ïóñòü     T    ìàêñèìàëüíûé èíâàðèàíò îòíîñèòåëüíî ãðóïïû

G. Òîãäà íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèè
ϕ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ϕ çàâèñåëà îò x ∈ X òîëüêî ÷åðåç T (x), òî åñòü
÷òîáû ñóùåñòâîâàëà òàêàÿ ôóíêöèÿ h(t), t ∈ T, ÷òî ϕ(x) = h(T (x)) äëÿ

âñåõ x ∈ X.


  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íåîáõîäèìîñòü. Åñëè ϕ(x) = h(T (x)) äëÿ âñåõ x ∈
X, òîãäà   ϕ(gx) = h(T (gx)) = ϕ(x), òî åñòü ϕ èíâàðèàíòíà.
  Äîñòàòî÷íîñòü. Çàâèñèìîñòü ϕ îò x òîëüêî ÷åðåç T (x) îçíà÷àåò, ÷òî
ôóíêöèÿ ϕ ïîñòîÿííà íà òåõ ïîäìíîæåñòâàõ X, íà êîòîðûõ ïîñòîÿííà T.
Îäíàêî, åñëè ϕ èíâàðèàíòíà è åñëè T (x1 ) = T (x2 ), òî x2 = gx1 äëÿ íåêî-

                                     121

Страницы