Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

g ∈ G, ϕ(x
2
) = ϕ(gx
1
) = ϕ(x
1
)
ϕ. 2
X
X = (X
1
, . . . , X
n
) n.
g G
a ∈ R,
x = (x
1
, . . . , x
n
) gx = x+a = (x
1
+a, . . . , x
n
+
a). T (x) = (x
1
− x
n
, . . . , x
n−1
− x
n
) n − 1
c, x
0
= x + c,
T (x) = T(x
0
). x
i
− x
n
= x
0
i
− x
0
n
, i = 1, . . . , n − 1.
c = x
0
n
− x
n
, x
0
i
= x
i
+ c i = 1, . . . , n − 1,
T (x) = (x
2
−x
1
, . . . , x
n
−x
1
). n =
g ∈ G.
ϕ(x) = c.
g G a 6= 0,
gx = ax = (ax
1
, . . . , ax
n
).
T (x) =
(x
1
/x
n
, . . . , x
n−1
/x
n
).
g
a 6= 0 b ∈ R.
x gx = ax + b = (ax
1
+ b, . . . , ax
n
+ b),
òîðîãî g ∈ G, è ïîýòîìó ϕ(x2 ) = ϕ(gx1 ) = ϕ(x1 ) â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè
ôóíêöèè ϕ.             2
  Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ íà ïîñòðîåíèå ìàêñèìàëüíûõ èíâàðèàí-
òîâ äëÿ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X  ïðîñòðàíñòâà
çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè X = (X1 , . . . , Xn ) ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n.


  Ïðèìåð 10.1     . Ãðóïïà ñäâèãîâ. Êàæäûé ýëåìåíò g ãðóïïû ñäâèãîâ G
îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì ÷èñëà a ∈ R, êîòîðîå ïðèáàâëÿåòñÿ ê êàæäîé êîì-
ïîíåíòå x = (x1 , . . . , xn ) âûáîðî÷íîãî âåêòîðà: gx = x+a = (x1 +a, . . . , xn +
a). Âåêòîð ðàçíîñòåé T (x) = (x1 − xn , . . . , xn−1 − xn ) ðàçìåðíîñòè n − 1
èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ñäâèãîâ è ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì èí-
âàðèàíòîì. ×òîáû äîêàçàòü ýòî, íàäî íàéòè òàêîå ÷èñëî c, ÷òî x0 = x + c,
êîãäà T (x) = T (x0 ). Ïóñòü xi − xn = x0i − x0n , i = 1, . . . , n − 1. Âûáèðàÿ
c = x0n − xn , ïîëó÷àåì, ÷òî x0i = xi + c äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n − 1, ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
  Åñòåñòâåííî, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ìàêñèìàëüíûå èíâàðèàíòû, íàïðè-
ìåð, T (x) = (x2 − x1 , . . . , xn − x1 ).  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà n = 1, íå ñóùå-
ñòâóåò íåòðèâèàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé. Âñå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò
èç îäíîé òðàåêòîðèè, òàê ÷òî ëþáûå äâå òî÷êè ìîãóò áûòü ïåðåâåäåíû
îäíà â äðóãóþ âûáîðîì ñäâèãà g ∈ G.  òàêîì ñëó÷àå ãðóïïà ïðåîáðàçî-
âàíèé íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíîé. Èíâàðèàíòíûìè ôóíêöèÿìè ìîãóò áûòü
òîëüêî êîíñòàíòû ϕ(x) = c.

  Ïðèìåð 10.2     . Ãðóïïà ìàñøòàáíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Êàæäûé ýëåìåíò
g ãðóïïû G îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì ÷èñëà a 6= 0, íà êîòîðîå óìíîæàåò-
ñÿ êàæäàÿ êîìïîíåíòà âûáîðî÷íîãî âåêòîðà: gx = ax = (ax1 , . . . , axn ).
 ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íà÷àëî êîîðäèíàò èìååò íóëåâóþ âåðîÿòíîñòü è,
òåì ñàìûì, ìîæåò áûòü èñêëþ÷åíî èç ðàññìîòðåíèÿ, ìàêñèìàëüíûì èíâà-
ðèàíòîì ãðóïïû ìàñøòàáíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ T (x) =
(x1 /xn , . . . , xn−1 /xn ). Äîêàæèòå ýòî ïî àíàëîãèè ñ ïðèìåðîì 10.1.
  Ïðèìåð 10.3     . Ãðóïïà ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Êàæäûé ýëåìåíò g
ýòîé ãðóïïû îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì äâóõ ÷èñåë: a 6= 0 è b ∈ R. Âûáî-
ðî÷íûé âåêòîð x ïðåîáðàçóåòñÿ â gx = ax + b = (ax1 + b, . . . , axn + b),

                                        122

Страницы