Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

g ∈ G g
∗
D
L( g θ, g
∗
d ) = L( θ, d ).
δ(x)
δ(g x) = g
∗
δ(x) x ∈ X g ∈ G. (10.2)
G X
G G
∗
Θ D
X
0
=
gX, θ
0
= g θ d
0
= g
∗
d
X, θ d. δ
x
0
,
δ(x
0
), g
∗−1
δ(x
0
).
δ,
δ(gx) 6= δ(x), δ,
δ
G,
δ ϕ
R(ϕ |g θ) = R(ϕ |θ) θ ∈ Θ. (10.3)
R(ϕ |g θ) = E
g θ
L( g θ, δ(X) ). (10.4)
  (II) Äëÿ êàæäîãî g ∈ G ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå g ∗ ïðîñòðàíñòâà
ðåøåíèé D íà ñåáÿ, ÷òî ôóíêöèÿ ïîòåðü íå ìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì îòîáðàæå-
íèè, òî åñòü L( g θ, g ∗ d ) = L( θ, d ). Ýòî óñëîâèå ïîðîæäàåò îãðàíè÷åíèå íà
âûáîð ïðàâèë ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, êîòîðûé â òåðìèíàõ ðåøàþùèõ ôóíêöèé
δ(x) ïðèíèìàåò âèä

                δ(g x) = g ∗ δ(x) äëÿ âñåõ x ∈ X è g ∈ G.                   (10.2)

  Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïà G ïðåîáðàçîâàíèé âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X
ïîðîæäàåò ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé G è G∗ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàí-
ñòâà Θ è ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé D ñîîòâåòñòâåííî.
  Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ïðåîáðàçîâàííàÿ çàäà÷à â òåðìèíàõ X 0 =
gX, θ 0 = g θ è d 0 = g ∗ d ôîðìàëüíî èäåíòè÷íà ïåðâîíà÷àëüíîé çàäà÷å â
òåðìèíàõ X, θ è d. Ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ δ ïåðâîíà÷àëüíîé çàäà÷è îñòàåò-
ñÿ ïðèãîäíîé è ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Èíòåðïðåòèðóÿ ïðåîáðàçîâàíèå êàê
çàìåíó êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû, ìû âûáðàëè áû, íàáëþäàÿ x 0 , ðåøåíèå, êî-
òîðîå â íîâîé ñèñòåìå çàïèñûâàåòñÿ êàê δ(x 0 ), à â ñòàðîé  êàê g ∗ −1 δ(x 0 ).
Åñëè ïðèíèìàåìîå ðåøåíèå íå äîëæíî çàâèñåòü îò âûáîðà ñèñòåìû êîîð-
äèíàò, òî ïîñëåäíåå ðåøåíèå äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ïåðâîíà÷àëüíûì δ, òî
åñòü ðåøàþùåå ïðàâèëî äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ èíâàðèàíòíîñòè,
êîòîðîå â òåðìèíàõ ðåøàþùèõ ôóíêöèé çàïèñûâàåòñÿ êàê ñîîòíîøåíèå
(10.2).
  Îäíî ñóùåñòâåííîå çàìå÷àíèå òåðìèíîëîãè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Ïîñêîëü-
êó ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ, êàê òàêîâàÿ, íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ôóíêöè-
åé ( δ(gx) 6= δ(x), âîîáùå ãîâîðÿ), òî δ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó
(10.2), íàçûâàþò ýêâèâàðèàíòíîé ðåøàþùåé ôóíêöèåé.

  Òåîðåìà 10.1. Åñëè      δ    ýêâèâàðèàíòíàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ â çàäà÷å,

êîòîðàÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé            G,   òî ôóíêöèÿ

ðèñêà ñîîòâåòñòâóþùåãî        δ   ïðàâèëà   ϕ   ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò

ðàâåíñòâó

                  R(ϕ | g θ) = R(ϕ | θ)         äëÿ âñåõ θ ∈ Θ.             (10.3)
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè ðèñêà

                        R(ϕ | g θ) = Eg θ L( g θ, δ(X) ).                   (10.4)

                                        124

Страницы