Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

E
θ
L( g θ, δ(gX) ) = E
θ
L( g θ, g
∗
δ(X) ) = E
θ
L(θ, δ(X) ) = R(ϕ |θ). 2
G
Θ,
θ ∈ Θ
θ
0
, θ ∈ Θ g ∈ G, θ
0
= g θ.
R(ϕ |θ
0
) = R(ϕ |g θ) = R(ϕ |θ) θ
0
, θ ∈ Θ,
R(ϕ |θ) θ ∈ Θ. 2
§
d ∈ D.
ϑ,
ξ ϑ
ξ
F
λ
( bx+a, ), b > 0, a ∈ R.
λ
θ = (a, b),
X.
H
0
: θ ∈ Θ
0
H
1
: θ ∈ Θ
1
G,
g
Èç (10.1) ñëåäóåò, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (10.4) ðàâíà

 Eθ L( g θ, δ(gX) ) = Eθ L( g θ, g ∗ δ(X) ) = Eθ L(θ, δ(X) ) = R(ϕ | θ).          2



  Ñëåäñòâèå 10.1. Â ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðåìû 10.1, åñëè                G   åñòü òðàí-

çèòèâíàÿ ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà                 Θ,   òî

ôóíêöèÿ ðèñêà ïîñòîÿííà (íå çàâèñèò îò          θ ∈ Θ ).
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî îïðåäåëåíèþ òðàíçèòèâíîñòè äëÿ ëþáûõ äâóõ
òî÷åê θ 0 , θ ∈ Θ ñóùåñòâóåò òàêîå g ∈ G, ÷òî θ 0 = g θ.  ñèëó ôîðìóëû
(10.3)
          R(ϕ | θ 0 ) = R(ϕ | g θ) = R(ϕ | θ)       äëÿ âñåõ θ 0 , θ ∈ Θ,

òî åñòü R(ϕ | θ) íå çàâèñèò îò θ ∈ Θ.           2
  Ýòî ñâîéñòâî ýêâèâàðèàíòíûõ ðåøàþùèõ ôóíêöèé ïîçâîëÿåò íàéòè îá-
ùèé âèä ýêâèâàðèàíòíîé îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðà ñäâèãà èëè ìàñøòàáà, êîòî-
ðûå äîñòàâëÿþò ìèíèìóì ôóíêöèè ðèñêà. Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òàêèõ îöåíîê
àíàëîãè÷åí òîìó, ÷òî èñïîëüçîâàëñÿ â § 6 ïðè ïîñòðîåíèè íåñìåùåííûõ
îöåíîê ñ ðàâíîìåðíî ìèíèìàëüíîé ôóíêöèåé ðèñêà, íî â çàäà÷å îïòèìàëü-
íîé ýêâèâàðèàíòíîé îöåíêè íå òðåáóåòñÿ âûïóêëîñòè ôóíêöèè ïîòåðü ïî
àðãóìåíòó d ∈ D. Òåîðèÿ ýêâèâàðèàíòíûõ îöåíîê ñîäåðæèòñÿ â ãëàâå 3
êíèãè Ý.Ëåìàíà Òåîðèÿ òî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿ, êóäà è îòñûëàåòñÿ ëþáî-
çíàòåëüíûé ñòóäåíò. Ìû æå çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì èíâàðèàíòíûõ êðèòå-
ðèåâ ïðîâåðêè ãèïîòåç ïðè íàëè÷èè ìåøàþùåãî ïàðàìåòðà ϑ, êîãäà ðàñ-
ïðåäåëåíèå íàáëþäàåìîãî ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ξ çàâèñèò îò ϑ ãðóïïîâûì
îáðàçîì. Íàïðèìåð, ξ åñòü äåéñòâèòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé èìååò âèä Fλ ( bx+a, ), b > 0, a ∈ R. Îòíîñèòåëüíî
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ ïðîâåðÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ãèïîòåçà ïðè ìåøàþùåì ïà-
ðàìåòðå θ = (a, b), êîòîðûé îïðåäåëÿåò ãðóïïó ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
âûáîðî÷íîãî ïðîñòðàíñòâà X.

  10.3.   Íàèáîëåå ìîùíûå èíâàðèàíòíûå êðèòåðèè.                       Çàäà÷à ïðî-
âåðêè ãèïîòåçû H0 : θ ∈ Θ0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : θ ∈ Θ1 îñòàåòñÿ
èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé G, åñëè ýëåìåíòû g


                                       125

Страницы