Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H
0
H
1
H
i
,
T,
L
i
( T ) = h
X
1
X
n
, . . . ,
X
n−1
X
n
=
∞
Z
0
x
n−1
f
i
(x)
n−1
Y
k=1
f
i
X
k
X
n
x
dx, i = 0, 1.
x = t X
n
H
i
L
i
( T ) = X
n
n
∞
Z
0
t
n−1
n
Y
k=1
f
i
( X
k
t ) dt, i = 0, 1. (10.5)
L
1
( T )/L
0
( T ) > C, C = C(α)
α
P
0
L
1
( T )
L
0
( T )
> C
= α.
L
1
( T )/L
0
( T )
U(T ), H
0
H
1
λ
θ f
λ
(θ x), §
X = (X
1
, . . . , X
n
)
X (θ, σ
2
)
H
0
: σ 6 σ
0
H
1
: σ > σ
0
X =
1
n
P
n
k=1
X
k
, S
2
=
P
n
k=1
(X
k
− X)
2
.
H
0
X
0
k
=
X
k
+a, k = 1, . . . , n, a ∈ R. X S
2
X
0
= X + a, S
2
0
= S
2
,
S
2
.
  Êðèòåðèé ÍåéìàíàÏèðñîíà äëÿ ïðîâåðêè H0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 îñ-
íîâàí íà ñòàòèñòèêå îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðàâäîïîäîáèå Hi , ñîîò-
âåòñòâóþùåå íàáëþäåíèþ ñòàòèñòèêè T, ðàâíî
                                             Z∞                      n−1                  
                   X1       Xn−1                        n−1
                                                                       Y              Xk
Li ( T ) = h          ,...,                =        x         fi (x)         fi          x       dx,   i = 0, 1.
                   Xn        Xn                                                       Xn
                                               0                       k=1

Çàìåíà x = t Xn ïðèâîäèò ïðàâäîïîäîáèå Hi ê âèäó
                                      Z∞           n
                                                   Y
                   Li ( T ) =   Xnn        n−1
                                           t             fi ( Xk t ) dt,              i = 0, 1.           (10.5)
                                      0            k=1

  Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, èç êîòîðîãî áåðåòñÿ âûáîðêà, íàè-
áîëåå ìîùíûé êðèòåðèé íå ðàíäîìèçèðîâàí è èìååò êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü
L1 ( T )/L0 ( T ) > C, ãäå ïîñòîÿííàÿ C = C(α) îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîìó
óðîâíþ çíà÷èìîñòè α èç óðàâíåíèÿ
                                            
                                 L1 ( T )
                            P0            > C = α.
                                 L0 ( T )
  Åñëè îòíîøåíèå ïðàâäîïîäîáèÿ L1 ( T )/L0 ( T ) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé ôó-
íêöèåé íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè U (T ), à ãèïîòåçû H0 è H1 âèäà (A)  (D)
(ñì. ïóíêò 9.2) ñîñòàâëÿþò óòâåðæäåíèÿ î ïàðàìåòðå λ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
ôóíêöèåé ïëîòíîñòè θ fλ (θ x), òî ìåòîäû § 9 ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ÐÍÌ èí-
âàðèàíòíûå íåñìåùåííûå êðèòåðèè ïðîâåðêè òàêèõ ãèïîòåç.

  Ïðèìåð 10.6        . Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ (ìàêñèìàëüíûå èíâàðèàíòû ïðè íàëè÷èè äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê).
Åñëè ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñëó÷àéíîé âûáîðêè X = (X1 , . . . , Xn ) îáëà-
äàåò äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé, òî ñòàòèñòè÷åñêèé âûâîä îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ
èñïîëüçîâàíèåì òîëüêî ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé ýòîé ñòàòèñòèêè. Òàê, åñ-
ëè X  âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî (θ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ, òî äëÿ ïðîâåðêè
ãèïîòåçû H0 : σ 6 σ0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : σ > σ0 ñëåäóåò îïèðàòüñÿ
                                          Pn         Pn
òîëüêî íà ñòàòèñòèêè X =              1
                                     k=1
                                      n  Xk , S 2
                                                   =              2
                                                      k=1 (Xk − X) .
  Ãèïîòåçà H0 îñòàåòñÿ èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ñäâèãîâ Xk0 =
Xk +a, k = 1, . . . , n, a ∈ R.  òåðìèíàõ äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê X è S 2 ýòî
                                    0            0
ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåõîäèò â X = X + a, S 2 = S 2 , è ìàêñèìàëüíûì èí-
âàðèàíòîì ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòèêà S 2 . Ïîýòîìó âñå èíâàðèàíòíûå êðèòåðèè

                                                    127

Страницы