Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(T ) =
n
X
k=1
ln X
k
− n ln
n
X
k=1
X
k
!
,
U(T ) > C.
P
n
k=1
X
k
.
C α.
U(T )
n
U(T )
V (T ) = U(T )/n.
V = V (T ) n → ∞
µ(λ) = E
λ
V = ψ(λ) − ψ(nλ), σ
2
(λ) = D
λ
V = ψ
0
(λ)/n − ψ
0
(nλ), (10.6)
ψ(x) = d ln Γ(x)/dx ψ
0
(x)
V > C
m(λ) = 1 − Φ
C − µ(λ)
σ(λ)
+ O
1
√
n
,
C = C(α) = µ(1) + σ(1) Φ
−1
(1 − α).
V =
1
n
n
X
k=1
ln X
k
− ln
n
X
k=1
X
k
!
ôóíêöèÿ ñòàòèñòèêè
                               n                        n
                                                                   !
                               X                        X
                    U (T ) =         ln Xk − n ln             Xk        ,
                               k=1                      k=1

òàê ÷òî ÐÍÌ èíâàðèàíòíûé êðèòåðèé ÿâëÿåòñÿ íåðàíäîìèçèðîâàííûì è
îòâåðãàåò ìîäåëü îòñóòñòâèå ïîñëåäåéñòâèÿ â ïîëüçó ìîäåëè ñòàðåíèå,
åñëè U (T ) > C.
  Åñòåñòâåííî, ýòîò æå êðèòåðèé ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ îòíîøåíèÿ
ïðàâäîïîäîáèÿ óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé âûáîðî÷íîãî âåêòîðà îòíîñèòåëü-
                                                                                Pn
íî äîñòàòî÷íîé (äëÿ ìåøàþùåãî ïàðàìåòðà) ñòàòèñòèêè                              k=1 Xk .   Îäíà-
êî â ëþáîì ñëó÷àå îñòàåòñÿ ïðîáëåìà âû÷èñëåíèÿ êðèòè÷åñêîé êîíñòàíòû
C ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α. Ê ñîæàëåíèþ, òî÷íîå ðàñïðåäå-
ëåíèå ñòàòèñòèêè U (T ) èìååò ñîâåðøåííî íåðàáî÷èé âèä òèïà äâîéíî-
ãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà. Ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ n ïðåäïî÷òèòåëüíåå
âîñïîëüçîâàòüñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì ýòîé ñòàòèñòèêè. Äëÿ
óïðîùåíèÿ âûâîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ U (T ) ââåäåì ñòàòè-
ñòèêó V (T ) = U (T )/n.

  Òåîðåìà 10.2. Ñòàòèñòèêà            V = V (T )    àñèìïòîòè÷åñêè ( n               → ∞)    íîð-

ìàëüíà ñ ïàðàìåòðàìè


  µ(λ) = Eλ V = ψ(λ) − ψ(nλ), σ 2 (λ) = Dλ V = ψ 0 (λ)/n − ψ 0 (nλ), (10.6)

ãäå   ψ(x) = d ln Γ(x)/dx    òàê íàçûâàåìàÿ ïñè-ôóíêöèÿ Ýéëåðà, à                          ψ 0 (x)
 ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè. Äëÿ ôóíêöèÿ ìîùíîñòè êðèòåðèÿ                               V > C
èìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå
                                                                     
                                         C − µ(λ)                  1
                   m(λ) = 1 − Φ                         +O        √         ,
                                           σ(λ)                     n
ãäå êðèòè÷åñêàÿ êîíñòàíòà      C = C(α) = µ(1) + σ(1) Φ−1 (1 − α).
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü ñòàòèñòèêè
                                n                       n
                                                                   !
                          1X                            X
                      V =    ln Xk − ln                       Xk
                          n
                               k=1                      k=1
óñòàíàâëèâàåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê ìû äîêàçûâàëè àñèìïòîòè÷åñêóþ íîð-
ìàëüíîñòü îöåíêè ïàðàìåòðà ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ, ðàçëàãàÿ ôóíêöèþ îò


                                           129

Страницы