Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X E X
V =
1
n
n
X
k=1
ln X
k
− ln n − ln X.
E
λ
X = λ, E
λ
ln X = ψ(λ)
√
nV =
1
√
n
n
X
k=1
[ ln X
k
− ψ(λ) ] +
√
nψ(λ) −
√
n ln n −
√
n ln X =
1
√
n
n
X
k=1
[ ln X
k
−ψ(λ) ]+
√
nψ(λ)−
√
n ln n−
√
n(X −λ)
λ
+
√
n(X −λ)
2
2[ λ + γ(X −λ) ]
2
,
(10.7)
0 < γ < 1
O(1/
√
n),
U,
ϕ(t) = E
λ
e
itU
=
1
Γ
n
(λ)
∞
Z
0
···
∞
Z
0
n
Y
k=1
x
λ−1
k
×
exp
(
it
"
n
X
k=1
ln X
k
− n ln
n
X
k=1
X
k
!#
−
n
X
k=1
x
k
)
dx
1
···dx
n
=
1
Γ
n
(λ)
∞
Z
0
···
∞
Z
0
n
X
k=1
x
k
!
−nit
n
Y
k=1
x
λ+it−1
k
exp
(
−
n
X
k=1
x
k
)
dx
1
···dx
n
.
n
P
n
k=1
X
k
, X
1
, . . . , X
n
λ + it.
âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî X â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè E X è ñîõðàíÿÿ
òîëüêî ëèíåéíûå ÷ëåíû.  íàøåì ñëó÷àå
                                              n
                                      1X
                                  V =    ln Xk − ln n − ln X.
                                      n
                                             k=1

Òàê êàê Eλ X = λ, Eλ ln X = ψ(λ) (âñïîìíèòå, êàê â îáùåì êóðñå òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé âû÷èñëÿëèñü ìîìåíòû ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ), òî
                 n
    √         1 X                    √       √        √
        nV = √     [ ln Xk − ψ(λ) ] + nψ(λ) − n ln n − n ln X =
               n
                           k=1
     n                                    √                √
 1 X                    √        √          n(X − λ)         n(X − λ)2
√       [ ln Xk −ψ(λ) ]+ nψ(λ)− n ln n−              +                      ,
  n                                            λ        2[ λ + γ(X − λ) ] 2
    k=1
                                                                    (10.7)
ãäå 0 < γ < 1 , îñòàòî÷íûé ÷ëåí (ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (10.7)) ñõîäèòñÿ ïî
                                      √
âåðîÿòíîñòè ê íóëþ ñî ñêîðîñòüþ O(1/ n), à ëèíåéíûå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ,
áóäó÷è ñóììàìè íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-
÷èí ñ êîíå÷íûì âòîðûì ìîìåíòîì, îáåñïå÷èâàþò àñèìïòîòè÷åñêóþ íîð-
ìàëüíîñòü â ñèëó öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû.
  Åñòåñòâåííî, ðàçëîæåíèå (10.7) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû àñèì-
ïòîòè÷åñêîé íîðìàëüíîñòè, íî â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè òî÷íîå çíà-
÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè U, èñïîëüçóÿ åå õàðàêòåðè-
ñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ òàêæå âû÷èñëÿåòñÿ â ÿâíîì âèäå:
                                                                Z∞         Z∞ Y
                                                                              n
                                                  1
                       ϕ(t) = Eλ eitU          = n                   ···             xλ−1
                                                                                      k   ×
                                                Γ (λ)
                                                                0          0   k=1
            ( "        n                             n
                                                                    !#         n
                                                                                          )
                       X                             X                         X
     exp        it           ln Xk − n ln                   Xk             −         xk       dx1 · · · dxn =
                       k=1                           k=1                       k=1
            Z∞         Z∞        n
                                            !−nit   n
                                                                               (       n
                                                                                                   )
     1                           X                  Y                                  X
                 ···                   xk                 xλ+it−1
                                                           k      exp              −          xk       dx1 · · · dxn .
   Γn (λ)
            0          0         k=1                k=1                                k=1

  Ïîñëåäíèé n -êðàòíûé èíòåãðàë ñ òî÷íîñòüþ äî íîðìèðîâî÷íîé êîíñòàí-
                                                      Pn
òû åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå                            k=1 Xk ,        êîãäà X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû
è îäèíàêîâî ãàììà-ðàñïðåäåëåíû ñ ïàðàìåòðîì ôîðìû λ + it. Åñòåñòâåí-
íî, ýòî ïðîñòî âîëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ, îáëåã÷àþùàÿ âû÷èñëåíèå êðàòíîãî

                                                          130

Страницы