Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

S
2
. §
H
0
,
S
2
> C,
X = (X
1
, . . . , X
n
)
1
θ
f
λ
x
θ
=
1
θ
λ
Γ(λ)
x
λ−1
exp
n
−
x
θ
o
, x > 0; θ > 0, λ > 0.
H
0
: λ = 1 H
1
: λ > 1.
n H
0
H
1
H
0
T (X) =
X
1
X
n
, . . . ,
X
n−1
X
n
,
L( λ |T ) = X
n
n
∞
Z
0
t
n−1
n
Y
k=1
f
λ
( X
k
t ) dt =
X
n
n
Γ
n
(λ)
n
Y
k=1
X
λ−1
k
∞
Z
0
t
nλ−1
exp
(
−t
n
X
k=1
X
k
)
dt = X
n
n
Γ(nλ)
Γ
n
(λ)
Q
n
k=1
X
λ−1
k
(
P
n
k=1
X
k
)
nλ
.
ln L( λ
00
|T ) − ln L( λ
0
|T ) λ
00
> λ
0
äîëæíû çàâèñåòü òîëüêî îò S 2 . Êàê ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ § 9, ñóùåñòâóåò
ÐÍÌ íåñìåùåííûé èíâàðèàíòíûé êðèòåðèé, îòêëîíÿþùèé ãèïîòåçó H0 ,
êîãäà S 2 > C, è ýòîò êðèòåðèé ñîâïàäàåò ñ ÐÍÌ íåñìåùåííûì êðèòåðèåì
(ñì. ïðèìåð (9.3)).
  Ðàññìîòðèì åùå îäíó çàäà÷ó íà ïîñòðîåíèå ÐÍÌ èíâàðèàíòíîãî êðè-
òåðèÿ, ïðåäñòàâëÿþùóþ îñîáûé èíòåðåñ ïðè òåñòèðîâàíèè âåðîÿòíîñòíûõ
ìîäåëåé â èñïûòàíèÿõ íà äîëãîâå÷íîñòü (òåîðèÿ íàäåæíîñòè).

  10.4.    ÐÍÌ èíâàðèàíòíûé êðèòåðèé ïðîâåðêè âåðîÿòíîñòíîé
ìîäåëè îòñóòñòâèå ïîñëåäåéñòâèÿ â èñïûòàíèÿõ íà äîëãîâå÷-
íîñòü.    Ïóñòü âûáîðêà X = (X1 , . . . , Xn ) áåðåòñÿ èç ãàììà ðàñïðåäåëåíèÿ
ñ ïëîòíîñòüþ
          1 x      1    λ−1
                              n xo
            fλ   = λ     x exp −   ,                            x > 0; θ > 0, λ > 0.
          θ    θ  θ Γ(λ)         θ
  Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà H0 : λ = 1 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : λ > 1. Â òåðìè-
íàõ èñïûòàíèé íà äîëãîâå÷íîñòü, êîãäà âûáîðî÷íûå äàííûå ïðåäñòàâëÿþò
ñðîêè ñëóæáû n èñïûòóåìûõ îáúåêòîâ, ãèïîòåçà H0 ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿò-
íîñòíîé ìîäåëè îòñóòñòâèå ïîñëåäåéñòâèÿ (ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
äîëãîâå÷íîñòè), à àëüòåðíàòèâà H1  âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè èçíîñà (ñòàðå-
íèÿ) îáúåêòà ïðè âîçäåéñòâèè ïèêîâûõ íàãðóçîê.
  Ãèïîòåçà H0 èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ìàñøòàáíûõ ïðåîáðàçî-
âàíèé, ïîýòîìó åå ïðîâåðêà äîëæíà îñóùåñòâëÿòüñÿ íà îñíîâå ìàêñèìàëü-
íîãî èíâàðèàíòà                                                 
                               X1       Xn−1
                    T (X) =       ,...,                              ,
                               Xn        Xn
ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ êîòîðîãî (ñì. (10.5),
                                       Z∞             n
                                                      Y
                  L( λ | T ) =   Xnn        n−1
                                            t               fλ ( Xk t ) dt =
                                       0              k=1

        n     Z∞          (     n
                                     )               Qn     λ−1
 Xnn Y λ−1        nλ−1
                               X
                                            n Γ(nλ)   k=1 Xk
           Xk    t     exp − t     Xk dt = Xn n                   .
Γn (λ)                                        Γ (λ) ( nk=1 Xk )nλ
                                                     P
       k=1         0           k=1

  Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêîå                         îòíîøåíèå ïðàâäîïîäîáèÿ
ln L( λ00 | T ) − ln L( λ0 | T ) ïðè λ00 > λ0 åñòü ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ

                                                128

Страницы