Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

G H
0
H
1
,
g Θ = Θ g Θ
0
= Θ
0
.
ϕ, ϕ(gx) = ϕ(x) x ∈ X
g ∈ G G.
x ∈ X
T (x) T.
H
0
: X =
(X
1
, . . . , X
n
)
f
0
= θf
0
(θ x), x > 0, θ > 0, H
1
,
X
i
, i = 1, . . . , n, f
1
= θf
1
(θ x)
R
+
θ.
T (X) =
X
1
X
n
, . . . ,
X
n−1
X
n
.
(n − 1)
f(x), x > 0.
T
H( t
1
, . . . , t
n−1
) = P( X
1
< t
1
X
n
, . . . , X
n−1
< t
n−1
X
n
) =
∞
Z
0
f(x
n
) dx
n
t
1
x
n
Z
0
f(x
1
) dx
1
···
t
n−1
x
n
Z
0
f(x
n−1
) dx
n−1
;
h( t
1
, . . . , t
n−1
) =
∂
n−1
H
∂ t
1
. . . ∂ t
n−1
=
∞
Z
0
x
n−1
f(x)
n−1
Y
i=1
f(t
i
x) dx.
ãðóïïû G ñîõðàíÿþò ãèïîòåòè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâà H0 è H1 , òî åñòü â
äîïîëíåíèå ê g Θ = Θ òðåáóåòñÿ, ÷òîáû è g Θ0 = Θ0 .
  Êðèòåðèé ϕ, óäîâëåòâîðÿþùèé ðàâåíñòâàì ϕ(gx) = ϕ(x) äëÿ âñåõ x ∈ X
è âñåõ g ∈ G íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G. Â ñèëó
Ëåììû 10.1 ëþáîé èíâàðèàíòíûé êðèòåðèé çàâèñèò îò x ∈ X òîëüêî ÷åðåç
çíà÷åíèÿ T (x) ìàêñèìàëüíîãî èíâàðèàíòà T. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñòðî-
åíèè íàèáîëåå ìîùíîãî êðèòåðèÿ ñ ïîìîùüþ ëåììû ÍåéìàíàÏèðñîíà ìû
ñòàëêèâàåìñÿ, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ñ íåîáõîäèìîñòüþ âûâîäà ðàñïðåäåëåíèé
ìàêñèìàëüíûõ èíâàðèàíòîâ. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ íà ðåøåíèå
äàííîé çàäà÷è.

  Ïðèìåð 10.5       . Ðàçëè÷åíèå äâóõ ïðîñòûõ ãèïîòåç ñ ìåøàþùèì ìàñ-
øòàáíûì ïàðàìåòðîì. Ïðîâåðÿåòñÿ ïðîñòàÿ ãèïîòåçà H0 : âûáîðêà X =
(X1 , . . . , Xn ) áåðåòñÿ èç íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïîòíîñòè
f0 = θf0 (θ x), x > 0, θ > 0, ïðè àëüòåðíàòèâå H1 , êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåò,
÷òî ðàñïðåäåëåíèå êàæäîãî Xi , i = 1, . . . , n, èìååò ïëîòíîñòü f1 = θf1 (θ x)
ñ òåì æå íîñèòåëåì R+ è òàêèì æå ïðîñòðàíñòâîì çíà÷åíèé ìåøàþùåãî
ïàðàìåòðà θ. Êàê áûëî îòìå÷åíî â Ïðèìåðå 10.2, ìàêñèìàëüíûì èíâàðè-
àíòîì îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ìàñøòàáíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæåò ñëóæèòü
ñòàòèñòèêà                                                          
                                            X1       Xn−1
                             T (X) =           ,...,                      .
                                            Xn        Xn
Íàéäåì ðàñïðåäåëåíèå ýòîé (n − 1) -ìåðíîé ñòàòèñòèêè, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî
âûáîð ïðîèñõîäèò èç ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîñðåäîòî÷åííîãî íà ïîëîæèòåëüíîé
ïîëóîñè ñ ïëîòíîñòüþ f (x), x > 0.
  Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè T

          H( t1 , . . . , tn−1 ) = P( X1 < t1 Xn , . . . , Xn−1 < tn−1 Xn ) =
               Z∞               t1 xn
                                Z                      tn−1
                                                        Z xn
                    f (xn ) dxn      f (x1 ) dx1 · · ·      f (xn−1 ) dxn−1 ;
               0                0                          0
åå ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè
                                                       Z∞                        n−1
                                    ∂ n−1 H                        n−1
                                                                                 Y
        h( t1 , . . . , tn−1 ) =                   =           x         f (x)         f (ti x) dx.
                                 ∂ t1 . . . ∂ tn−1                               i=1
                                                       0


                                             126

Страницы