Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ(t) =
Γ
n
(λ + it)
Γ
n
(λ)
1
Γ( n(λ + it) )
∞
Z
0
x
−nit
x
n(λ+it)−1
e
−x
dx =
Γ(nλ) Γ
n
(λ + it)
Γ
n
(λ) Γ( n(λ + it)
.
ln ϕ(t) it,
U it V (it)
2
/2,
V
E
λ
U n D
λ
U n
2
2
T (X
(n)
) = (X
1
− X
n
, . . . , X
n−1
− X
n
),
X
(n)
= X
1
, . . . , X
n
f(x−θ), x ∈
R, θ ∈ R. T, f
(θ, 1)
2.
∗
T (X
(n)
) =
X
1
− X
n−1
X
n
− X
n−1
, . . . ,
X
n−2
− X
n−1
X
n
− X
n−1
,
X
(n)
σ
−1
f ( (x − µ)/σ ) , x ∈ R, µ ∈ R, σ ∈ R
+
.
T, f
(µ, σ
2
)
3.
∗
H
0
: λ = 0 H
1
: λ > 0 λ
F
λ
x
θ
=
x
θ
λ+1
, 0 6 x 6 θ,
θ.
èíòåãðàëà. Èòàê,
                   n                               Z∞
                 Γ (λ + it)    1
        ϕ(t) =      n
                                                        x− nit xn(λ+it)−1 e− x dx =
                   Γ (λ) Γ( n(λ + it) )
                                                   0

                             Γ(nλ) Γn (λ + it)
                                                .
                            Γn (λ) Γ( n(λ + it)
  Ðàçëàãàÿ ln ϕ(t) â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì it, íàõîäèì ñðåäíåå çíà÷åíèå
U (êîýôôèöèåíò ïðè it ) è äèñïåðñèþ V (êîýôôèöèåíò ïðè (it)2 /2, ). Ôîð-
ìóëû (10.6) äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè ñòàòèñòèêè V ïîëó÷àþòÿ äåëåíèåì
Eλ U íà n è äåëåíèåì Dλ U íà n2 ñîîòâåòñòâåííî.        2


                             Çà÷åòíûå çàäàíèÿ



1. Ïî àíàëîãèè ñ ïðèìåðîì 10.5 íàéäèòå ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ìàêñèìàëü-
   íîãî èíâàðèàíòà T (X (n) ) = (X1 − Xn , . . . , Xn−1 − Xn ), êîãäà âûáîðêà
   X (n) = X1 , . . . , Xn áåðåòñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ f (x−θ), x ∈
   R, θ ∈ R. Íàéäèòå ÿâíûé âèä ïëîòíîñòè T, êîãäà f  ïëîòíîñòü íîð-
   ìàëüíîãî (θ, 1) ðàñïðåäåëåíèÿ.

2.∗ Íàéäèòå ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ìàêñèìàëüíîãî èíâàðèàíòà
                                                        
                             X1 − Xn−1       Xn−2 − Xn−1
              T (X (n) ) =             ,...,               ,
                             Xn − Xn−1        Xn − Xn−1
   êîãäà âûáîðêà X (n) áåðåòñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ

                   σ −1 f ( (x − µ)/σ ) ,         x ∈ R, µ ∈ R, σ ∈ R+ .

   Íàéäèòå ÿâíûé âèä ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñòàòèñòèêè T, êîãäà f  ïëîò-
   íîñòü íîðìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ.

3.∗ Ïî àíàëîãèè ñ ï.10.4 ïîñòðîéòå ÐÍÌ èíâàðèàíòíûé êðèòåðèé ïðîâåð-
   êè ãèïîòåçû H0 : λ = 0 ïðè àëüòåðíàòèâå H1 : λ > 0 î ïàðàìåòðå λ
   ðàñïðåäåëåíèÿ
                          x   x λ+1
                      Fλ      =         , 0 6 x 6 θ,
                           θ      θ
   ïðè ìåøàþùåì ïàðàìåòðå θ.


                                            131

Страницы