Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

T (x) =
x
2
− x
1
x
n
− x
1
, . . . ,
x
n−1
− x
1
x
n
− x
1
x = (x
1
,
. . . , x
n
) m
x
i
x x
i
= (x
i1
, . . . , x
im
). G
R
m
,
T (x) =
m
X
k=1
x
2
1k
, . . . ,
m
X
k=1
x
2
nk
!
.
G
P = {P ( ·, |θ ),
θ ∈ Θ }, P ( A |θ ), A ∈ A,
X gX, P ( ·|θ
0
),
P. θ
0
Θ, θ
g θ, P( gX ∈ A |θ ) =
P( X ∈ A |g θ ).
T :
E
θ
T (gX) = E
g θ
T (X). (10.1)
g G
Θ.
G, g θ ∈ Θ θ ∈ Θ g ∈ G
θ
0
∈ Θ θ ∈ Θ,
g θ = θ
0
. g Θ = Θ.
Äîêàæèòå, ÷òî èíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ
                          x2 − x1       xn−1 − x1
                      T (x) =     ,...,
                          xn − x1        xn − x1
ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì èíâàðèàíòîì.
  Ïðèìåð 10.4   . Ãðóïïà îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïóñòü x = (x1 ,
. . . , xn ) âûáîðî÷íûé âåêòîð m -ìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òî åñòü êàæäàÿ
êîìïîíåíòà xi âûáîðêè x ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì xi = (xi1 , . . . , xim ). Åñëè G
 ãðóïïà îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Rm , òî ìàêñèìàëüíûì èíâàðèàí-
òîì áóäåò ôóíêöèÿ
                                m                      m
                                                                    !
                                X                      X
                     T (x) =          x21k , . . . ,         x2nk       .
                                k=1                    k=1

  10.2. Èíâàðèàíòíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà.                               Îáðàòèìñÿ ñíîâà
ê ðàññóæäåíèÿì î íåîáõîäèìîñòè ââåäåíèÿ èíâàðèàíòíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ
ïðàâèë, êîòîðûå áûëè ïðèâåäåíû â íà÷àëå ïðåäûäóùåãî ïóíêòà. Ëåãêî
ïîíÿòü, ÷òî ýòè ñîîáðàæåíèÿ äîëæíû áûòü ïîëîæåíû â ïîñòðîåíèå âåðî-
ÿòíîñòíîé ìîäåëè, âûáîð ôóíêöèè ïîòåðü è ïîâëå÷ü îãðàíè÷åíèÿ íà êëàññ
ïðàâèë ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ.
  Ãðóïïà G îñòàâëÿåò ñòàòèñòè÷åñêóþ ïðîáëåìó èíâàðèàíòíîé, åñëè âû-
ïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ.
  q(I) Îíà îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíîé ñòàòèñòè÷åñêóþ ìîäåëü P = { P ( ·, | θ ),
θ ∈ Θ }, òî åñòü äëÿ ëþáîãî âîçìîæíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ P ( A | θ ), A ∈ A,
ñëó÷àéíîé âûáîðêè X ðàñïðåäåëåíèå gX, ñêàæåì, P ( · | θ 0 ), òàêæå ïðè-
íàäëåæèò P. Òî÷êà θ 0 ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ, ñâÿçàííàÿ ñ θ
óêàçàííûì îáðàçîì, áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ g θ, òàê ÷òî P( gX ∈ A | θ ) =
P( X ∈ A | g θ ). Áîëåå îáùèì îáðàçîì ýòî óñëîâèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
â òåðìèíàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îò ëþáîé ñòàòèñòèêè T :

                          Eθ T (gX) = Eg θ T (X).                                    (10.1)

  Ïðåîáðàçîâàíèÿ g îáðàçóþò ãðóïïó G ïðåîáðàçîâàíèé ïàðàìåòðè÷åñêî-
ãî ïðîñòðàíñòâà Θ. Ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî îñòàåòñÿ èíâàðèàíò-
íûì îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G, åñëè g θ ∈ Θ äëÿ âñåõ θ ∈ Θ è âñåõ g ∈ G
è åñëè, äîïîëíèòåëüíî, äëÿ êàæäîãî θ 0 ∈ Θ ñóùåñòâóåò òàêîå θ ∈ Θ, ÷òî
g θ = θ 0 . Ýòè äâà óñëîâèÿ ìîæíî âûðàçèòü â ôîðìå ðàâåíñòâà g Θ = Θ.

                                        123

Страницы