Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

D, d
0
H
0
d
1
ϕ(x),
H
0
d
1
x
ϕ
δ(x) x
d
0
d
1
u
U δ(x) = d
0
,
ϕ(x) > u.
d
0
θ
Ψ(d
0
|θ) = P
θ
{δ(X) = d
0
} = E
θ
{1 − ϕ(X)}
Ψ(d
1
|θ) = 1 − Ψ(d
0
|θ) d
1
ϕ.
θ
ϑ P (X, ϑ)
X ×Θ, µ ×χ
h(x, θ) = p (x |θ) g(θ), g
G ϑ. θ
P
θ
θ
E
d
0
d
1
ϕ
Ψ(d
1
) = P(δ(X) = d
1
) = E [ Ψ(d
1
|ϑ) ] = E
ϑ
[ E
ϑ
ϕ(X) ], Ψ(d
0
) = 1 −Ψ(d
1
).
λ G Ψ
D, ñîñòîÿùåå âñåãî èç äâóõ òî÷åê:    d0  ðåøåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè ãèïîòåçû
H0 è d1  ðåøåíèå îá èñòèííîñòè àëüòåðíàòèâû.
  Ðåøåíèå î ñïðàâåäëèâîñòè òîé èëè èíîé ãèïîòåçû ïðèíèìàåòñÿ ñ ïîìî-
ùüþ ðàíäîìèçèðîâàííîãî ïðàâèëà (êðèòè÷åñêîé ôóíêöèè) ϕ(x), óêàçûâà-
þùåãî, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ñëåäóåò îòâåðãàòü ãèïîòåçó H0 (ïðèíèìàòü
ðåøåíèå d1 î ñïðàâåäëèâîñòè àëüòåðíàòèâû), åñëè x  ðåçóëüòàò ñòàòè-
ñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Ïðàâèëó ϕ ñîîòâåòñòâóåò ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ
δ(x) , êîòîðàÿ êàæäîìó íàáëþäåííîìó çíà÷åíèþ x ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå
ðåøåíèå d0 èëè ðåøåíèå d1 ïî ðåçóëüòàòó u íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû U ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì íà îòðåçêå [ 0, 1 ]: δ(x) = d0 , åñëè
ϕ(x) > u.
  Íàïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ d0 ïðè ôèêñèðîâàííîì
çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ

                 Ψ(d0 | θ) = Pθ {δ(X) = d0 } = Eθ {1 − ϕ(X)}

âìåñòå ñ âåðîÿòíîñòüþ Ψ(d1 | θ) = 1 − Ψ(d0 | θ) ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ d1 íà-
çûâàåòñÿ îáðàçîì ðåøàþùåãî ïðàâèëà (êðèòåðèÿ) ϕ.
  Ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîáëåì, â êîòîðûõ çíà÷åíèå ïà-
ðàìåòðà θ ïðè ïðîâåäåíèè íàáëþäåíèé åñòü ðåàëèçàöèÿ íåêîòîðîãî ñëó-
÷àéíîãî ýëåìåíòà ϑ è ïóñòü P  ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà (X, ϑ)
íà ïðîñòðàíñòâå X × Θ, ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè êîòîðîãî ïî ìåðå µ × χ ðàâíà
h(x, θ) = p (x | θ) g(θ), ãäå g  ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè àïðèîðíîãî ðàñïðåäå-
ëåíèÿ G ñëó÷àéíîãî ïàðàìåòðà ϑ. Íèæíèé èíäåêñ θ ó çíàêà âåðîÿòíî-
ñòè Pθ , êàê âñåãäà, áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî ýòà âåðîÿòíîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ïðè
çàäàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ . Âåðõíèé èíäåêñ ó çíàêà âåðîÿòíîñòè èñ-
ïîëüçóåòñÿ äëÿ êîíêðåòèçàöèè ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé
ýòà âåðîÿòíîñòü âû÷èñëÿåòñÿ, åñëè òîëüêî ýòî íå âèäíî èç êîíòåêñòà çà-
ïèñè. Àíàëîãè÷íûå ñîãëàøåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ çíàêà ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ E .
  Áåçóñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé d0 è d1 (àïðèîðíûé îáðàç
ϕ ) âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì

Ψ(d1 ) = P(δ(X) = d1 ) = E [ Ψ(d1 | ϑ) ] = E ϑ [ E ϑ ϕ(X) ], Ψ(d0 ) = 1 − Ψ(d1 ).

Èíäåêñ λ èëè G ó Ψ ìû îïóñêàåì, ÷òîáû èçáåæàòü ãðîìîçäêîé çàïèñè

                                       136

Страницы