Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

P(ϑ ∈ Θ
1
|X) > C, C
β
0
d
P(ϑ ∈ Θ
1
|X) = C
P.
ϕ ϕ
∗
d (= d
0
d
1
),
R(d |ϕ) 6 R(d |ϕ
∗
)
P ( δ = d ) < P ( δ
∗
= d ). P ( δ =
d
0
) + P ( δ = d
1
) = 1
R(d
0
|ϕ) 6 R(d
0
|ϕ
∗
) R(d
1
|ϕ) 6 R(d
1
|ϕ
∗
)
ϕ ϕ
∗
R
i
(x) = P(ϑ ∈ Θ
1−i
|X = x)
d
i
, i = 0, 1, x
X,
ϕ
∗
ϕ
∗
(x) =
(
1, R
0
(x) > C,
0, R
0
(x) < C .
(11.3)
ϕ
R(d
i
|ϕ) = E{R
i
(X) |δ(X) = d
i
}, i = 0, 1 ,
A P ( R
i
(X) > A ) = 1
d
i
ϕ R(d
i
|ϕ) >
A, i = 0, 1.
ϕ
∗
R(d
0
|ϕ
∗
) 6 C, R(d
1
|ϕ
∗
) 6 1 − C.
æå, àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü P(ϑ ∈ Θ 1 | X) > C, ãäå C îïðåäåëÿåòñÿ
ïî çàäàííûì îãðàíè÷åíèÿì β0 íà d -ðèñê ïåðâîãî ðîäà ñ âîçìîæíîé ðàí-
äîìèçàöèåé íà ãðàíèöå P(ϑ ∈ Θ 1 | X) = C êðèòè÷åñêîé îáëàñòè, åñëè ýòà
ãðàíèöà èìååò íåíóëåâóþ âåðîÿòíîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ P.
  Ïðåäâîñõèùàÿ äàëüíåéøèå ïóòè â äîêàçàòåëüñòâå îïòèìàëüíîñòè òàêî-
ãî êðèòåðèÿ, ñðàçó æå ðàññêàæåì, â ÷åì ñîñòîèò çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï
äîêàçàòåëüñòâà. Åñëè êðèòåðèé ϕ , íå ñîâïàäàþùèé ñ ϕ∗ , èìååò d-ðèñê
â íåêîòîðîé òî÷êå d (= d0 èëè d1 ), äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî íåðàâåí-
ñòâî R(d | ϕ) 6 R(d | ϕ∗ ) , òî äëÿ íåãî âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ýòîãî ðåøå-
íèÿ P ( δ = d ) < P ( δ ∗ = d ). Ïîñêîëüêó ñóììà âåðîÿòíîñòåé P ( δ =
d0 ) + P ( δ = d1 ) = 1 , òî íåðàâåíñòâà
                     R(d0 | ϕ) 6 R(d0 | ϕ∗ ) è R(d1 | ϕ) 6 R(d1 | ϕ∗ )
íå ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî, åñëè òîëüêî êðèòåðèè ϕ è ϕ∗ íå ñîâ-
ïàäàþò.
  Äîêàæåì ñíà÷àëà äâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèÿ, â êîòîðûõ àïîñòå-
ðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü Ri (x) = P(ϑ ∈ Θ 1−i | X = x) òðàêòóåòñÿ (ñ òî÷êè
çðåíèÿ ôóíêöèè ïîòåðü 1 0) êàê àïîñòåðèîðíûé ðèñê îò ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèÿ di , i = 0, 1, ïðè ëþáîì ðåçóëüòàòå x íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè
X, òî åñòü ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ èãíîðèðóåò ðåçóëüòàò ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïå-
ðèìåíòà. Â òåðìèíàõ àïîñòåðèîðíûõ ðèñêîâ ïðåòåíäåíò ϕ∗ íà îïòèìàëüíîå
ïðàâèëî ïðèíèìàåò âèä
                             (
                               1, åñëè R0 (x) > C,
                    ϕ∗ (x) =                                     (11.3)
                               0, åñëè R0 (x) < C .
  Ëåììà 11.1              (i)   Äëÿ ëþáîãî êðèòåðèÿ          ϕ   d-ðèñêè

                        R(di | ϕ) = E{ Ri (X) | δ(X) = di },          i = 0, 1 ,
è äëÿ âû÷èñëåíèÿ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñïðàâåäëèâû ôîð-

ìóëû       (11.1)   è   (11.2).
  ( ii )    Åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ êîíñòàíòà                  A , ÷òî P ( Ri (X) > A ) = 1 , òî
äëÿ ëþáîãî íåâûðîæäåííîãî â òî÷êå                       di êðèòåðèÿ ϕ d-ðèñêè R(di | ϕ) >
A, i = 0, 1.
  ( iii ) Äëÿ       ðåøàþùåãî ïðàâèëà          ϕ∗   âèäà    (11.3)
                            R(d0 | ϕ∗ ) 6 C,          R(d1 | ϕ∗ ) 6 1 − C.

                                                    138

Страницы