Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

δ(X) = d
X = x
R
i
(X) A
R(d
0
|ϕ
∗
) = E{R
0
(X) |δ(X) = d
0
} = E{R
0
(X) |R
0
< C} 6 C,
R(d
1
|ϕ
∗
) = E{R
1
(X) |R
0
> C} = E{R
1
(X) |R
1
< 1 − C} 6 1 −C. 2
ϕ ϕ
∗
d
R(d |ϕ) 6 R(d |ϕ
∗
),
d
Ψ(d) = P ( δ(X) = d ) 6 P ( δ
∗
(X) = d ) = Ψ
∗
(d).
d = d
0
ϕ ϕ
∗
H(x) = [ ϕ
∗
(x) − ϕ(x) ] [C − R
0
(x)) ] 6 0, ∀x ∈ X.
C −
R
0
(x) > 0 ϕ
∗
(x) = 0 ϕ
∗
(x) − ϕ(x) = −ϕ(x) 6 0
C −R
0
(x) < 0 ϕ
∗
(x) = 1 ϕ
∗
(x)−ϕ(x) = 1−ϕ(x) > 0.
E[ ϕ
∗
(X) − ϕ(X) ] [ C − R
0
(X) ] 6 0, (11.4)
R
0
( x ) 6= C ϕ ϕ
∗
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû åñòü ñëåäñòâèå îñíîâíî-
ãî ñâîéñòâà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïî êîòîðîìó îïåðàöèþ
âçÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî áîëåå ãðóáîìó ðàçáèåíèþ ( δ(X) = d )
ïðîñòðàíñòâà çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ìîæíî ïðåäâàðèòü îïåðàöèåé
âçÿòèÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî áîëåå ìåëêîìó ðàçáèåíèþ
ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ( X = x ). Â ñâÿçè ñ ýòèì ñìîòðèòå ôîðìóëû (11.1) è
(11.2).
    Âòîðîå óòâåðæäåíèå ëåììû ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ïåðâîãî óòâåð-
æäåíèÿ, ïîñêîëüêó çàìåíà Ri (X) íà ìåíüøóþ âåëè÷èíó A ïðèâîäèò ê
óìåíüøåíèþ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
    Òðåòüå óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì:

          R(d0 | ϕ∗ ) = E{ R0 (X) | δ(X) = d0 } = E{ R0 (X) | R0 < C} 6 C,
R(d1 | ϕ∗ ) = E{ R1 (X) | R0 > C} = E{ R1 (X) | R1 < 1 − C} 6 1 − C. 2
    Ëåììà 11.2. Åñëè d-ðèñêè êðèòåðèÿ         ϕ   è êðèòåðèÿ   ϕ∗   â íåêîòîðîé òî÷êå

d   óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó


                              R(d | ϕ) 6 R(d | ϕ∗ ),
òî äëÿ áåçóñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ               d   ýòèìè êðèòåðèÿìè

ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî


               Ψ(d) = P ( δ(X) = d ) 6 P ( δ ∗ (X) = d ) = Ψ∗ (d).
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ëåììû ïðîâåäåì òîëüêî äëÿ ðåøåíèÿ d = d0 . Ñíà-
÷àëà çàìåòèì, äëÿ êðèòåðèåâ ϕ è ϕ∗ ôóíêöèÿ

              H(x) = [ ϕ∗ (x) − ϕ(x) ] [C − R0 (x)) ] 6 0,         ∀x ∈ X.
    Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî íåðàâåíñòâà ñîâïàäàåò ñ äîêàçàòåëüñòâîì àíàëî-
ãè÷íîãî íåðàâåíñòâà â ëåììå ÍåéìàíàÏèðñîíà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè C −
R0 (x) > 0 , òî ϕ∗ (x) = 0 è ϕ∗ (x) − ϕ(x) = −ϕ(x) 6 0 . È íàîáîðîò, åñëè
C − R0 (x) < 0 , òî ϕ∗ (x) = 1 è ϕ∗ (x) − ϕ(x) = 1 − ϕ(x) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

                      E[ ϕ∗ (X) − ϕ(X) ] [ C − R0 (X) ] 6 0,                   (11.4)
ñî ñòðîãèì çíàêîì íåðàâåíñòâà òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ñ ïîëîæèòåëüíîé
âåðîÿòíîñòüþ íà ìíîæåñòâå R0 ( x ) 6= C ϕ è ϕ∗ ðàçëè÷àþòñÿ.

                                        139

Страницы