Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
∗
,
β
0
.
ϕ
c
(x) =
(
1, R
0
(x) > c,
0, R
0
(x) < c ,
ϕ
∗
, x ∈ X.
r(c) = R(d
0
|ϕ
c
) = E{ϑ ∈ Θ
1
|R
0
(x) < c } −
ϕ
c
c ∈ [ 0, 1 ], c
0
R
0
(x)
P (R
0
(X) < c ) > 0 c > c
0
.
r(c)
c
0
6 r(c) 6 G
1
= P(ϑ ∈ Θ
1
).
c {x : R
0
(x) <
c}
d
0
ϕ
0
d
0
x ∈ X
R(d
0
|ϕ
0
) = P ( ϑ ∈ Θ
1
) = G
1
.
d
0
ϕ
c
c ϕ
0
R( d
0
|ϕ
c
) 6 R( d
0
|ϕ
0
) = G
1
c ∈ [ 0, 1 ]
c > c
0
P ( R
0
(X) < c ) >
0 c
0
ϕ
c
c
0
6 R(d
0
|ϕ
c
) < c.
êðèòåðèÿ ϕ∗ , íî òîëüêî ïðè íå ñëèøêîì ìàëûõ è íå ñëèøêîì áîëüøèõ
çíà÷åíèÿõ β0 . Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü, â ÷åì ñóòü ïðîáëåìû, ðàññìîòðèì
êðèòåðèé                             (
                                         1, åñëè R0 (x) > c,
                          ϕc (x) =
                                         0, åñëè R0 (x) < c ,
êîòîðûé ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñ ϕ∗ , íî îïðåäåëåí ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x ∈ X.
Ïóñòü
                   r(c) = R(d0 | ϕc ) = E{ϑ ∈ Θ1 | R0 (x) < c } −
d-ðèñê ïåðâîãî ðîäà ïðàâèëà ϕc , ðàññìàòðèâàåìûé êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà
c ∈ [ 0, 1 ], è c0  íàèìåíüøåå çíà÷åíèå àïîñòåðèîðíîé âåðîÿòíîñòè R0 (x)
â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî P (R0 (X) < c ) > 0 äëÿ âñåõ c > c0 .

  Ëåììà 11.3. Ôóíêöèÿ           r(c)
  (i)       íå óáûâàåò,

  ( ii )    íåïðåðûâíà ñëåâà,

  ( iii )   ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 èëè       c0 6 r(c) 6 G1 = P(ϑ ∈ Θ1 ).
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ( i ) Òàê êàê ñ ðîñòîì c ìíîæåñòâî {x : R0 (x) <
c} ðàñøèðÿåòñÿ, òî áåçóñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ (áåçóñëîâíàÿ
âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ d0 ) óâåëè÷èâàåòñÿ. Èç óòâåðæäåíèÿ Ëåììû
11.2 ñëåäóåò, ÷òî òîãäà d-ðèñê ïåðâîãî ðîäà íå ìîæåò óìåíüøèòüñÿ.
  ( ii ) Íåïðåðûâíîñòü ñëåâà óñòàíàâëèâàåòñÿ òàê æå, êàê äîêàçûâàëàñü
íåïðåðûâíîñòü ñëåâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. îáùèé êóðñ ÒÂ è ÌÑ).
  ( iii ) Ïðàâèëî ϕ 0 , ïðèíèìàþùåå ðåøåíèå d0 ïðè ëþáûõ x ∈ X , èìå-
åò d-ðèñê ïåðâîãî ðîäà, ðàâíûé áåçóñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ñïðàâåäëèâîñòè
àëüòåðíàòèâû
                          R(d0 | ϕ 0 ) = P ( ϑ ∈ Θ1 ) = G1 .
Ïîñêîëüêó áåçóñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ d0 êðèòåðèåì ϕc
ïðè ëþáîì c ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåé âåðîÿòíîñòè äëÿ ϕ 0 , òî èç Ëåììû
11.2 âûòåêàåò, ÷òî R( d0 | ϕc ) 6 R( d0 | ϕ 0 ) = G1 ïðè ëþáûõ c ∈ [ 0, 1 ] .
  Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ëþáîãî c > c0 âåðîÿòíîñòü P ( R0 (X) < c ) >
0 (ñì. îïðåäåëåíèå c0 ), ïîýòîìó êðèòåðèé ϕc íå âûðîæäåí è åãî d-ðèñê
ïåðâîãî ðîäà, â ñèëó óòâåðæäåíèÿ ( ii ) Ëåììû 11.1), c0 6 R(d0 | ϕc ) < c.



                                            141

Страницы