Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

c
0
> 0 c < c
0
d
0
ϕ
c
R(d
0
|ϕ
c
) = 0 2
β
0
< γ
0
ϕ R(d
0
|ϕ) 6 β
0
β
0
> G
1
d
0
β
0
c
0
< β
0
< G
1
c
∗
r(c
∗
) = β
0
ϕ
c
∗
r(c) c
0
G
1
β
0
c
∗
= {c : r(c) 6 β
0
}.
r(c) r(c
∗
) 6 β
0
r(c) c
∗
r(c
∗
) < β
0
er(c) = R(d
0
| eϕ
c
)
eϕ
c
(x) =
(
1, R
0
(x) > c,
0, R
0
(x) 6 c ,
r(c) γ
0
G
1
r(c)
c < c
0
P ( R
0
(X) < c ) 6
P ( R
0
(X) 6 c ) 6 P ( R
0
(X) < c
0
)
r(c) 6 er(c) 6 r(c
0
).
c = c
∗
er(c
∗
) < β
0
c
0
> c
∗
er(c
0
) < β
0
c
00
c
∗
< c
00
< c <
c
0
, r(c
00
) 6 r(c) 6 er(c) 6 er(c
0
) < β
0
c
00
> c
∗
, r(c
00
) < β
0
, c
∗
  Åñëè c0 > 0 , òîãäà ïðè ëþáûõ c < c0 âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ d0
ïî êðèòåðèþ ϕc ðàâíà íóëþ è ïî ïîñòðîåíèþ R(d0 | ϕc ) = 0         2
  Èç äîêàçàííîé ëåììû ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû.
  1).   Åñëè îãðàíè÷åíèåβ0 < γ0 , òîãäà íå ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííûõ êðè-
òåðèåâ ϕ , ó êîòîðûõ d-ðèñê R(d0 | ϕ) 6 β0 .

  2). Åñëè îãðàíè÷åíèå β0 > G1 , òîãäà ðåøàþùåå ïðàâèëî, ïðèíèìàþùåå
ðåøåíèå d0 ïðè ëþáûõ ðåçóëüòàòàõ íàáëþäåíèé (òî åñòü, ïî-ñóùåñòâó, áåç

ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé) óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèþ         β0   íà âåëè÷èíó d-

ðèñêà ïåðâîãî ðîäà.

  Èòàê, ïóñòü c0 < β0 < G1 . Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, åñëè íàéäåòñÿ êîíñòàí-
òà c∗ , äëÿ êîòîðîé r(c∗ ) = β0 , òîãäà êðèòåðé ϕc∗ è áóäåò îïòèìàëüíûì.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ r(c) èçìåíÿåòñÿ (íå óáûâàÿ) îò c0 äî G1 , òî ïðè ñäå-
ëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî β0 ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà

                            c∗ = sup{c : r(c) 6 β0 }.

  Òàê êàê ôóíêöèÿ r(c) íåïðåðûâíà ñëåâà, òî è r(c∗ ) 6 β0 . Íàì îñòàëîñü
èçó÷èòü ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ r(c) òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå c∗ , ïðè÷åì
r(c∗ ) < β0 .
  Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ re(c) = R(d0 | ϕ
                                    ec ) , ãäå êðèòåðèé
                           (
                             1, åñëè R0 (x) > c,
                  ϕ
                  ec (x) =
                             0, åñëè R0 (x) 6 c ,
Ýòà ôóíêöèÿ òàê æå, êàê è r(c) , íå óáûâàåò è èçìåíÿåòñÿ îò γ0 äî G1 .
Åäèíñòâåííîå å¼ îòëè÷èå îò r(c) ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíà íåïðåðûâíà ñïðà-
âà. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ïðè c < c0 âåðîÿòíîñòü P ( R0 (X) < c ) 6
P ( R0 (X) 6 c ) 6 P ( R0 (X) < c0 ) , òî

                              r(c) 6 re(c) 6 r(c0 ).

  Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â òî÷êå c = c∗ ôóíêöèÿ re(c∗ ) < β0 , òîãäà â
ñèëó å¼ íåïðåðûâíîñòè ñïðàâà íàéäåòñÿ òî÷êà c0 > c∗ , â êîòîðîé òàêæå
re(c0 ) < β0 .  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé òî÷êè c00 òàêîé, ÷òî c∗ < c00 < c <
c0 , ôóíêöèÿ r(c00 ) 6 r(c) 6 re(c) 6 re(c0 ) < β0 , òî åñòü ñóùåñòâóåò òàêîå
c00 > c∗ , äëÿ êîòîðîãî òàêæå r(c00 ) < β0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó c∗ êàê
ìàêñèìàëüíîé òî÷êè ñ òàêèì ñâîéñòâîì.

                                       142

Страницы