Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C E [ ϕ
∗
(X) −ϕ(X) ] 6 E R
0
(X)[ ϕ
∗
(X) − ϕ(X) ].
C[ Ψ
∗
(d
1
) − Ψ(d
1
) ] = C[ Ψ(d
0
) − Ψ
∗
(d
0
) ].
E R
0
(X)[ ( ( 1 −ϕ(X) ) −( 1 −ϕ
∗
(X) ) ] = R(d
0
|ϕ) Ψ(d
0
) −R(d
0
|ϕ
∗
) Ψ
∗
(d
0
).
R(d
0
|ϕ
∗
) [ Ψ(d
0
) − Ψ
∗
(d
0
) ].
[ C − R(d
0
|ϕ
∗
) ] [ Ψ(d
0
) − Ψ
∗
(d
0
) ] 6 0,
d
0
C 1 − C 2
ϕ
R(d
0
|ϕ) 6 R(d
0
|ϕ
∗
)
ϕ ϕ
∗
R(d
1
|ϕ) > R(d
1
|ϕ
∗
).
Ψ(d) + Ψ(d
0
) = 1
ϕ
∗
2
C = C(β
0
)
R(d
0
|ϕ
∗
) = β
0
ϕ
∗
    Ïóòåì î÷åâèäíûõ âûêëàäîê íåðàâåíñòâî (11.4) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó

               C E [ ϕ∗ (X) − ϕ(X) ] 6 E R0 (X)[ ϕ∗ (X) − ϕ(X) ].

Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà ðàâíà

                    C[ Ψ∗ (d1 ) − Ψ(d1 ) ] = C[ Ψ(d0 ) − Ψ∗ (d0 ) ].

Ïðàâóþ ÷àñòü â ñèëó óòâåðæäåíèÿ ( i ) ëåììû 11.1 è ôîðìóëû (11.1) ìîæíî
çàïèñàòü êàê

E R0 (X)[ ( ( 1 − ϕ(X) ) − ( 1 − ϕ∗ (X) ) ] = R(d0 | ϕ) Ψ(d0 ) − R(d0 | ϕ∗ ) Ψ∗ (d0 ).

Ïî ïðåäïîëîæåíèþ íàñòîÿùåé ëåììû ýòà ðàçíîñòü ìåíüøå èëè ðàâíà

                                R(d0 | ϕ∗ ) [ Ψ(d0 ) − Ψ∗ (d0 ) ].

    Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

                     [ C − R(d0 | ϕ∗ ) ] [ Ψ(d0 ) − Ψ∗ (d0 ) ] 6 0,

êîòîðîå â ñèëó òðåòüåãî óòâåðæäåíèÿ Ëåììû 11.1 âëå÷åò äîêàçûâàåìîå
íåðàâåíñòâî äëÿ âåðîÿòíîñòåé ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ d0 . Äëÿ äðóãîãî ðåøåíèÿ
äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî (ñ çàìåíîé C íà 1 − C ).                   2
    Òåîðåìà 11.1    (ëåììà Ñèìóøêèíà).               Åñëè d-ðèñê 1-ãî ðîäà êðèòåðèÿ   ϕ

                                   R(d0 | ϕ) 6 R(d0 | ϕ∗ )

è   ϕ   íå ñîâïàäàåò ñ   ϕ∗ ,   òî d-ðèñê 2-ãî ðîäà


                                   R(d1 | ϕ) > R(d1 | ϕ∗ ).

    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîñêîëüêó ñóììà âåðîÿòíîñòåé Ψ(d) + Ψ(d0 ) = 1
äëÿ ëþáîãî êðèòåðèÿ, òî d-ðèñê íèêàêîãî ïðàâèëà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå
d-ðèñêà ïðàâèëà ϕ∗ ñðàçó äëÿ îáîèõ ðåøåíèé.                          2

    Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïîäîáðàòü êîíñòàíòó C = C(β0 ) òàê, ÷òîáû d-ðèñê
ïåðâîãî ðîäà R(d0 | ϕ∗ ) = β0 , òî êðèòåðèé ϕ∗ ñòàíîâèòñÿ îïòèìàëüíûì
ñðåäè âñåõ êðèòåðèåâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàííûì îãðàíè÷åíèÿì íà d-ðèñê
ïåðâîãî ðîäà. Ýòî, åñòåñòâåííî, ìîæíî ñäåëàòü ïî àíàëîãèè ñ êðèòåðèåì
ÍåéìàíàÏèðñîíà, ââîäÿ ðàíäîìèçàöèþ íà ãðàíèöå êðèòè÷åñêîé îáëàñòè

                                               140

Страницы