Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

c
0
< β
0
< G
1
C γ,
ϕ
∗
(x) =
1, R
0
(x) > C,
γ, R
0
(x) = C,
0, R
0
(x) < C
(11.5)
R(d
0
|ϕ
∗
) = β
0
R(d
1
|ϕ
∗
) ϕ
R(d
0
|ϕ) 6 β
0
ϕ
∗
q
(x) =
1, R
0
(x) > c
∗
,
q, R
0
(x) = c
∗
,
0, R
0
(x) < c
∗
.
R(d
0
|ϕ
∗
q
) =
E [ I
1
(ϑ) ( 1 − ϕ
∗
q
(X) ) ]
E( 1 − ϕ
∗
q
(X) )
=
P ( {ϑ ∈ Θ
1
} ∩ {R
0
(X) < c
∗
}) + q P ( {ϑ ∈ Θ
1
} ∩ {R
0
(X) = c
∗
})
P ( R
0
(X) < c
∗
) + q P ( R
0
(X) = c
∗
)
.
q
q = 0 R(d
0
|ϕ
∗
0
) = r(c
∗
) < β
0
q = 1 R(d
0
|ϕ
∗
1
) =
er(c
∗
) > β
0
γ
R(d
0
|ϕ
∗
γ
) = β
0
. ϕ
∗
(x)
C = c
∗
γ, R(d
0
|ϕ
∗
q
) =
β
0
q 2
P ( R
0
(X) = c
∗
) > 0
θ. θ 6 θ
0
,
    Òåîðåìà 11.2. Åñëè           c0 < β0 < G1 ,        òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû

C   è   γ,   ÷òî äëÿ êðèòåðèÿ
                                     
                                      1, åñëè R0 (x) > C,
                                     
                            ϕ∗ (x) =   γ, åñëè R0 (x) = C,                       (11.5)
                                     
                                       0, åñëè R0 (x) < C
                                     

    (i)   d-ðèñê   1-ãî     R(d0 | ϕ∗ ) = β0 ;
                          ðîäà

    ( ii ) d-ðèñê 2-ãî ðîäà R(d1 | ϕ∗ ) ìèíèìàëåí ñðåäè âñåõ êðèòåðèåâ ϕ , óäî-
âëåòâîðÿþùèõ îãðàíè÷åíèþ                 R(d0 | ϕ) 6 β0     íà âåëè÷èíó d-ðèñêà ïåðâîãî

ðîäà.


    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì êðèòåðèé
                                      
                                       1, åñëè R0 (x) > c ,
                                                          ∗
                                      
                            ϕ∗q (x) =   q, åñëè R0 (x) = c∗ ,
                                      
                                        0, åñëè R0 (x) < c∗ .
                                      

Åãî d-ðèñê ïåðâîãî ðîäà ðàâåí (ñì. ôîðìóëó (11.1))
                                           E [ I1 (ϑ) ( 1 − ϕ∗q (X) ) ]
                          R(d0 | ϕ∗q )   =                              =
                                                E( 1 − ϕ∗q (X) )
    P ( {ϑ ∈ Θ1 } ∩ {R0 (X) < c∗ } ) + q P ( {ϑ ∈ Θ1 } ∩ {R0 (X) = c∗ } )
                                                                          .
                   P ( R0 (X) < c∗ ) + q P ( R0 (X) = c∗ )
Î÷åâèäíî, îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé q ýòîò ðèñê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïðå-
ðûâíóþ, ìîíîòîííóþ äðîáíî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ.
    Ïðè q = 0 ðèñê R(d0 | ϕ∗0 ) = r(c∗ ) < β0 , à ïðè q = 1 ðèñê R(d0 | ϕ∗1 ) =
re(c∗ ) > β0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò (åäèíñòâåííàÿ) êîíñòàíòà γ , ïðè
êîòîðîé R(d0 | ϕ∗γ ) = β0 . Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèé ϕ∗ (x) ñ êîíñòàíòîé
C = c∗ è êîíñòàíòîé γ, îïðåäåëÿåìîé êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ R(d0 | ϕ∗q ) =
β0 îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé q , ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì êðèòåðèåì.        2
  Çàìå÷àíèå. Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû âèäíî, ÷òî íåîáõîäèìîñòü â ðàí-
äîìèçàöèè âîçíèêàåò òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà P ( R0 (X) = c∗ ) > 0 .

    Âåðíåìñÿ ê íàøåìó íà÷àëüíîìó ïðèìåðó ñ êîíòðîëåì êà÷åñòâà. Ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî êà÷åñòâî âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè õàðàêòåðèçóåòñÿ ïðîöåíò-
íûì ñîäåðæàíèåì âðåäíîé ïðèìåñè, êîëè÷åñòâî êîòîðîé îïðåäåëÿåò çíà-
÷åíèå ïàðàìåòðà θ. Ïðîäóêò ñ÷èòàåòñÿ êîíäèöèîííûì, åñëè θ 6 θ0 , è

                                                 143

Страницы