Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
0
(X) = P(ϑ ∈ Θ
1
|X)
R
0
(X)/R(X)
t/(1 − t) t = P(ϑ ∈ Θ
1
|X).
H
1
H
0
:
L(X) =
Z
θ
0
−∞
p (X |θ) d G(θ) /
Z
∞
θ
0
p (X |θ) d G(θ).
T
p (x |θ)/p (x |θ
0
) x T (x),
θ > θ
0
, θ < θ
0
.
L(X)
L(X) =
Z
θ
0
−∞
p (X |θ)
p (X |θ
0
)
d G(θ) /
Z
∞
θ
0
p (X |θ)
p (X |θ
0
)
d G(θ)
L(X) T (X). 2
1 − β
0
T (X) = X
θ σ
2
/n T
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Êðèòåðèé (11.5) íå ìåíÿåò ñâîèõ îïòèìàëüíûõ
ñâîéñòâ, åñëè âìåñòî ñòàòèñòèêè R0 (X) = P(ϑ ∈ Θ 1 | X) èñïîëüçîâàòü
îòíîøåíèå àïîñòåðèîðíûõ âåðîÿòíîñòåé R0 (X)/R(X)  ìîíîòîííî âîçðàñ-
òàþùóþ ôóíêöèþ t/(1 − t) àðãóìåíòà t = P(ϑ ∈ Θ 1 | X). Íàïîìíèì,
÷òî èìåííî ýòà ñòàòèñòèêà ñëóæèëà ýâðèñòè÷åñêèì äîâîäîì â ïîëüçó îïòè-
ìàëüíîñòè êðèòåðèÿ, îñíîâàííîãî íà îòíîøåíèè àïîñòåðèîðíûõ âåðîÿòíî-
ñòåé ðàçëè÷àåìûõ ãèïîòåç. Äëÿ îäíîñòîðîííèõ ãèïîòåç, ïðåäñòàâëåííûõ â
ôîðìóëèðîâêå äàííîé òåîðåìû, ñòàòèñòèêà îòíîøåíèÿ àïîñòåðèîðíûõ âå-
ðîÿòíîñòåé èìååò âèä îòíîøåíèÿ äâóõ èíòåãðàëîâ ïî íåïåðåñåêàþùèìñÿ
èíòåðâàëàì, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ãèïîòåçàì H1 è H0 :
                      Z   θ0                          Z   ∞
             L(X) =            p (X | θ) d G(θ) /              p (X | θ) d G(θ).
                         −∞                           θ0
  Ïî îïðåäåëåíèþ ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé, îáëàäàþùèõ ìîíîòîííûì îò-
íîñèòåëüíî ñòàòèñòèêè T îòíîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ, îòíîøåíèå ïëîòíî-
ñòåé p (x | θ)/p (x | θ0 ) çàâèñèò îò x òîëüêî ÷åðåç çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè T (x),
íå óáûâàåò, åñëè θ > θ0 , è íå âîçðàñòàåò, åñëè θ < θ0 . Ñëåäîâàòåëüíî, çà-
ïèñü ñòàòèñòèêè L(X) â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå
                         θ0                                ∞
                               p (X | θ)                       p (X | θ)
                     Z                                Z
            L(X) =                         d G(θ) /                        d G(θ)
                      −∞       p (X | θ0 )                θ0   p (X | θ0 )
ïîêàçûâàåò, ÷òî L(X) åñòü íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ T (X).                                2
  Ïðèìåð 11.2.    Ñòàòèñòè÷åñêèé êîíòðîëü êà÷åñòâà â ðàìêàõ ìîäåëè
NN ñ ãàðàíòèðîâàííûì óðîâíåì âûõîäíîãî êà÷åñòâà. Îáðàòèìñÿ ñíîâà
ê ïðèìåðó ñ êîíòðîëåì êà÷åñòâà âûïóñêàåìîé ïðîäóêöèè ïî ñîäåðæàíèþ
âðåäíîé ïðèìåñè. Ìû ðàññìàòðèâàëè åãî ïåðåä ôîðìóëèðîâêîé è äîêàçà-
òåëüñòâîì Òåîðåìû 11.3, êîòîðàÿ äàåò èíñòðóìåíò äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîöå-
äóðû êîíòðîëÿ ñ ãàðàíòèðîâàííûì óðîâíåì 1 − β0 âûõîäíîãî êà÷åñòâà â
ðàìêàõ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè NN.
  Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü NN (ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âû-
áîðêè) îáëàäàåò ìîíîòîííûì îòíîñèòåëüíî ñòàòèñòèêè T (X) = X îòíî-
øåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïîñêîëüêó íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì
θ è äèñïåðñèåé σ 2 /n ñòàòèñòèêè T ïðèíàäëåæèò íåïðåðûâíîìó òèïó, òî
êðèòåðèé, ãàðàíòèðóþùèé âûõîäíîé óðîâåíü êà÷åñòâà, ÿâëÿåòñÿ íåðàí-
äîìèçèðîâàííûì è îòâåðãàåò ãèïîòåçó êîíäèöèîííîñòè ïðîäóêòà, åñëè

                                           145

Страницы