Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
θ r(θ)
ϕ = (ϕ
s
, ϕ
c
, ϕ
d
) θ
R(ϕ |θ) 6 r(θ).
ρ = (ϕ
s
, ϕ
c
)
ρ ν
θ∈Θ
E
θ
ν.
r(d) R
G
(ϕ |d) 6
r(d),
E
G
ν
d∈D
E {ν |δ(X
(ν)
) = d }.
θ
ρ,
ν = n (= 0, 1, . . .).
ϕ
d
,
θ∈Θ
R(ϕ |θ) / r(θ)
d∈D
R
G
(ϕ |d) / r(d)
ρ
   §   12.     Ãàðàíòèéíûé ñòàòèñòè÷åñêèé âûâîä.

  Ìû ïðèñòóïàåì ê ðåøåíèþ âòîðîé èç îñíîâíûõ ïðîáëåì òåîðèè ñòàòè-
ñòè÷åñêèõ âûâîäîâ  ïîñòðîåíèþ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðîöåäóð, ãàðàíòèðóþ-
ùèõ çàäàííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ðèñê è ìèíèìèçèðóþùèõ ïðè ýòîì îáúåì
íàáëþäåíèé.
   çàäà÷àõ θ -ãàðàíòèéíîñòè òàêèå îãðàíè÷åíèÿ r(θ) íàêëàäûâþòñÿ íà
ôóíêöèþ ðèñêà: ïðîöåäóðà ϕ = (ϕs , ϕc , ϕd ) íàçûâàåòñÿ θ -ãàðàíòèéíîé, åñ-
ëè R(ϕ | θ) 6 r(θ). Ïðè ýòîì óñëîâèè ñòàâèòñÿ çàäà÷à íà îïòèìèçàöèþ
óïðàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèì ýêñïåðèìåíòîì ρ = (ϕs , ϕc )  ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé ρ ìîìåíò îñòàíîâêè ν äîëæåí ìèíèìèçèðîâàòü íåêîòðûé ôóíêöèîíàë
îò åãî ðàñïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, supθ∈Θ Eθ ν.
  Ïðè ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíûõ ïî îáúåìó íàáëþäåíèé d-ãàðàíòèéíûõ ïðî-
öåäóð îãðàíè÷åíèÿ r(d) íàêëàäûâàþòñÿ íà ôóíêöèþ d-ðèñêà: RG (ϕ | d) 6
r(d), è ïðè ýòîì óñëîâèè ìèíèìèçèðóåòñÿ, ñêàæåì, áåçóñëîâíîå ñðåäíåå
çíà÷åíèå EG ν îáúåìà íàáëþäåíèé èëè supd∈D E { ν | δ(X (ν) ) = d }.
   Êàê îòìå÷àëîñü â ïåðâîì ïàðàãðàôå, åñëè â îïòèìèçàöèè îáúåìà
íàáëþäåíèé θ -ãàðàíòèéíûõ ïðîöåäóð èìååòñÿ ðÿä äîñòèæåíèé â çàäà÷àõ
îöåíêè è ïðîâåðêè ãèïîòåç, òî äëÿ d-ãàðàíòèéíûõ ïðîöåäóð ðåøåíèå ïðî-
áëåìû îïòèìèçàöèè èçâåñòíî äëÿ òåõ æå çàäà÷ òîëüêî ïðè óïðàâëåíèè ρ,
êîìïîíåíòû êîòîðîãî íå çàâèñÿò îò ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé íà êàæäîì
øàãå ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà, òî åñòü â êëàññå ìîìåíòîâ îñòàíîâêè
âèäà ν = n (= 0, 1, . . .).
  Ðåøåíèå òàêîãî ðîäà çàäà÷ íåñêîëüêî óïðîùàåòñÿ, åñëè íàéòè ïðàâè-
ëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ϕd , ñîîòâåòñòâóþùåå îïòèìàëüíîìó ìîìåíòó îñòà-
íîâêè. Î÷åâèäíî, îíî äîëæíî áûòü ìèíèìàêñíûì ïî îòíîøåíèþ ê íîð-
ìèðîâàííîìó íà çàäàííûå îãðàíè÷åíèÿ ðèñêó, òî åñòü ìèíèìèçèðîâàòü
supθ∈Θ R(ϕ | θ) / r(θ) èëè, ñîîòâåòñòâåííî, supd∈D RG (ϕ | d) / r(d) ïðè êàæ-
äîì ôèêñèðîâàííîì óïðàâëåíèè ρ ñòàòèñòè÷åñêèì ýêñïåðèìåíòîì. Ïîñ-
êîëüêó ìèíèìàêñíûå ðåøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ áàéåñîâñêèìè (èëè ïðåäåëàìè áàé-
åñîâñêèõ) ïðè íàèìåíåå áëàãîïðèÿòíûõ àïðèîðíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ, à áàé-
åñîâñêèå ðåøåíèÿ íå çàâèñÿò îò óïðàâëåíèÿ, òî òàêàÿ çàäà÷à ÷àñòî èìååò
ðåøåíèå. Âñå ýòî ìû ðàññìîòðèì íèæå íà ïðèìåðå òðàäèöèîííûõ çàäà÷


                                     147

Страницы