Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X §
X
(θ, σ
2
/n).
n,
P ( |X − θ | 6 ∆ ) = 2 Φ
∆
σ
√
n
− 1 > 1 − α
n >
Φ(1 − α/2)
∆
σ
2
.
ν,
E
2 Φ
∆
σ
√
ν
− 1
= 1 − α
E ν =
∞
X
k=1
k p
k
(
p
k
, k = 0, 1, . . . ,
∞
X
i=0
p
i
= 1
)
.
σ
θ
∆
1 − α X
(n)
n
ˆ
θ(X
(n)
),
n.
P
θ,σ
( |
ˆ
θ(X
(n)
) − θ | 6 ∆) > 1 − α
îáúåìà íàáëþäåíèé íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé. Âñ¼ àðõèïðîñòî: âûáîðî÷íîå
ñðåäíåå X ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàêñíîé îöåíêîé, ïîëó÷àåìîé (ñì. § 5) êàê ïðåäåë
áàéåñîâñêîé â ðàìêàõ ìîäåëè NN, ê òîìó æå ýòî ýêâèâàðèàíòíàÿ îöåíêà
îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ñäâèãîâ. Ðàñïðåäåëåíèå X íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè
(θ, σ 2 /n). Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìûé îáúåì âûáîðêè îïðåäåëÿåòñÿ êàê
íàìèåíüøåå n, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó
                                                    ∆√
                                                              
                P(|X − θ| 6 ∆) = 2Φ                    n               −1>1−α
                                                    σ
èëè, ÷òî òî æå, íåðàâåíñòâó
                                                             2
                                        Φ(1 − α/2)
                               n>                  σ               .
                                            ∆
(Ýòó ôîðìóëó ìû âûâîäèëè â îáùåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè áåç
îáñóæäåíèÿ ïðîáëåìû îïòèìèçàöèè îáúåìà íàáëþäåíèé.)
   êà÷åñòâå çàäàíèÿ íà äîì ïðåäëàãàåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó îïòèìàëüíîé
ðàíäîìèçàöèè îáúåìà íàáëþäåíèé: ìîìåíò îñòàíîâêè ν, íå çàâèñÿùèé îò
ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé, äîëæåí áûòü âûáðàí òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðà-
âåíñòâî
                            ∆√
                                                       
                    E 2Φ       ν                    −1 =1−α
                             σ
è ïðè ýòîì äîñòèãàëñÿ ìèíèìóì
                                             ∞
                                             X
                                    Eν =            k pk
                                             k=1
ïî âñåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì âåðîÿòíîñòåé
                                                    ∞
                      (                                                 )
                                                    X
                          p k , k = 0, 1, . . . ,          pi = 1           .
                                                    i=0

  Âñ¼ çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ, åñëè çíà÷åíèå σ íå èçâåñòíî.
  Òåîðåìà 12.1.  çàäà÷å îöåíèâàíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ                           θ   íîðìàëüíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ãàðàíòèðîâàííîé òî÷íîñòüþ                     ∆    è ãàðàíòèðîâàííîé íàäåæ-

íîñòüþ    1 − α ïî âûáîðêå X (n) ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n íå ñóùåñòâóåò
îöåíêè    θ̂(X (n) ), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ãàðàíòèéíîé ïðè êàêîì-ëèáî êîíå÷íîì
îáúåìå    íàáëþäåíèé n.

  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðîáëåìà ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè òàêîé îöåíêè, ÷òî-
áû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî Pθ,σ ( | θ̂(X (n) ) − θ | 6 ∆) > 1 − α ïðè ëþáûõ

                                            149

Страницы