Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
ν
θ,
∆ 1 −α
X
ν
ν :
P
θ,σ
( |X
ν
− θ | 6 ∆) = E
ν
{P
θ,σ
( |X
ν
− θ | 6 ∆) |ν }.
X
ν
ν
P (X
n
< x |ν = n ) = P (X
n
<
x), n
0
X
S
2
n
0
S
2
n
0
n − n
0
X
1
, . . . , X
n
0
.
P
θ,σ
( |X
ν
− θ | 6 ∆) = 2 E Φ
∆
σ
√
ν
− 1 > 2 E Φ
∆
σ
t
α
S
n
0
∆
− 1 =
2 E Φ
S
n
0
σ
t
α
− 1 = 2 E Φ
χ
n
0
−1
√
n
0
− 1
t
α
− 1,
χ
n
0
−1
n
0
− 1
2 E Φ
χ
n
0
−1
√
n
0
− 1
t
α
− 1 = 1 − α.
m = (n
0
− 1)/2
E Φ
χ
n
0
−1
√
n
0
− 1
t
α
= C
m
t
α
Z
−∞
dx
∞
Z
0
√
t t
m−1
exp
−
1
2
tx
2
n
0
− 1
+ t
dt,
C
m
=
1
p
2π(n
0
− 1)
1
2
m
Γ(m)
.
dt
∞
Z
0
t
m−1/2
exp
−
t
2
x
2
n
0
− 1
+ 1
dt =
2
m+1/2
Γ(m + 1/2)
(1 + x
2
/(n
0
− 1))
m+1/2
.
  Òåîðåìà 12.2. Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå                               Xν   ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé        θ,   ãàðàíòè-

ðóþùåé çàäàííûå òî÷íîñòü                ∆     è íàäåæíîñòü            1−α     ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ.




  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íàäåæíîñòü îöåíêè X ν ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ñðåäíåå çíà÷åíèå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íàäåæíîñòè îòíî-
ñèòåëüíî ìîìåíòà îñòàíîâêè ν :

               P θ,σ ( | X ν − θ | 6 ∆) = Eν { P θ,σ ( | X ν − θ | 6 ∆) | ν }.

  Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñòàòèñòèêè X ν è ν ñóòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè-
÷èíû. Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü P (X n < x | ν = n ) = P (X n <
x), èáî ïåðâûå n0 ñëàãàåìûõ â X íå çàâèñÿò îò âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè
Sn20 (íàïîìíèì, ìîìåíò îñòàíîâêè çàâèñèò òîëüêî îò Sn20 ) â ñèëó òåîðåìû
Ôèøåðà, à îñòàâøèåñÿ n − n0 ñëàãàåìûõ íå çàâèñÿò îò X1 , . . . , Xn0 . Ñëå-
äîâàòåëüíî,
                                                   ∆√
                                                                                 
                                                           ∆ tα Sn0
  P θ,σ ( | X ν − θ | 6 ∆) = 2 E Φ           − 1 > 2EΦν               −1=
                                                   σ       σ ∆
                                                       
                         Sn0                    χn0 −1
                 2EΦ         tα − 1 = 2 E Φ √           tα − 1,
                          σ                      n0 − 1
ãäå χn0 −1  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êâàäðàò êîòîðîé èìååò õè-êâàäðàò ðàñ-
ïðåäåëåíèå ñ n0 − 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Îñòàëîñü òîëüêî ïîêàçàòü, ÷òî
                                          
                                 χn0 −1
                        2EΦ √            tα − 1 = 1 − α.
                                  n0 − 1
  Ââåäåì îáîçíà÷åíèå m = (n0 − 1)/2 è âû÷èñëèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-
äàíèå:
                                        Ztα        Z∞ √
                                                                                         tx2
                                                                                             
            χ                                                                   1
 EΦ        √ n0 −1 tα         = Cm            dx             t tm−1 exp       −                +t   dt,
            n0 − 1                                                              2       n0 − 1
                                       −∞          0
ãäå
                                                       1    1
                               Cm = p                            .
                                              2π(n0 − 1) 2m Γ(m)
Èíòåãðàë ïî dt
      Z∞
                                         x2               2m+1/2 Γ(m + 1/2)
                                              
           m−1/2               t
           t       exp       −                +1   dt =                         .
                               2       n0 − 1           (1 + x2 /(n0 − 1))m+1/2
      0

                                                           151

Страницы