Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

E Φ
χ
n
0
−1
√
n
0
− 1
t
α
=
1
p
π(n
0
− 1)
Γ(n
0
/2)
Γ((n
0
− 1)/2)
t
α
Z
−∞
1 +
x
2
n
0
− 1
−n
0
/2
dx.
n
0
−1 t
α
1 − α/2,
1 − α. 2
θ
σ.
σ
(µ, σ
2
)
σ, σ
2
σ
L(σ, d) =
1, |d/σ − 1 | > ∆ ,
0, |d/σ − 1 | 6 ∆ .
σ.
X S
2
, X
X
S
2
,
Òàêèì îáðàçîì,
                                                       Ztα                − n0 /2
                                                                    x2
                     
          χ                       1       Γ(n0 /2)
EΦ       √ n0 −1 tα       =p                                   1+                     dx.
          n0 − 1             π(n0 − 1) Γ((n0 − 1)/2)              n0 − 1
                                                       −∞
Ïðàâàÿ ñòîðîíà ýòîãî ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåò çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàñïðå-
äåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ n0 − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû â òî÷êå tα è, ñëåäîâàòåëü-
íî, ðàâíà 1 − α/2, à îáùåå çíà÷åíèå íàäåæíîñòè îöåíêè íå ìåíüøå ÷åì
1 − α.    2
   Îáñóäèâ ïðîáëåìó îïòèìèçàöèè îáúåìà íàáëþäåíèé ïðè ãàðàíòèéíîé
îöåíêå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ θ , ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó äëÿ îöåíêè
σ.
  Ïðèìåð 12.2     . Îïòèìàëüíûé îáúåì âûáîðêè ïðè îöåíêå ñòàíäàðòíîãî
îòêëîíåíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ãàðàíòèðîâàííîé îòíîñèòåëü-
íîé òî÷íîñòüþ è íàäåæíîñòüþ. Ðàññìîòðèì ïðîáëåìó ãàðàíòèéíîé îöåí-
êè ñ ìèíèìàëüíûì ñðåäíèì îáúåìîì íàáëþäåíèé äëÿ ïàðàìåòðà σ íîð-
ìàëüíîãî (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî áîëåå
îñìûñëåííàÿ çàäà÷à, ÷åì îöåíêà äèñïåðñèè, èáî èìåííî σ, à íå σ 2 èñ-
ïîëüçóåòñÿ ïðè õàðàêòåðèçàöèè ðàññåÿíèÿ ðàñïðåäåëåíèé è âûáîðî÷íûõ
äàííûõ. Ïîñêîëüêó σ  ïàðàìåòð ìàñøòàáà, òî îøèáêà â åå îöåíèâàíèè
îáû÷íî èçìåðÿåòñÿ â îòíîøåíèè ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ, òî åñòü ôóíêöèÿ
ïîòåðü òèïà 1 0 äîëæíà èìåòü âèä
                                  
                                   1, åñëè    | d/σ − 1 | > ∆ ,
                      L(σ, d) =
                                   0, åñëè    | d/σ − 1 | 6 ∆ .
  Èòàê, äëÿ ìèíèìèçàöèè ñðåäíåãî îáúåìà âûáîðêè íåîáõîäèìî íàéòè ìè-
íèìàêñíóþ îöåíêó σ. Åñòåñòâåííî, òàêàÿ îöåíêà äîëæíà çàâèñåòü òîëüêî îò
äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèê X è S 2 , íî íàñêîëüêî îïðàâäàíî ó÷àñòèå X â äàí-
íîé çàäà÷å? Äåéñòâèòåëüíî, X ìîæíî èãíîðèðîâàòü, ïîòîìó ÷òî äàííàÿ
ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ìàñøòàáíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé, ýêâèâàðèàíòíàÿ îöåíêà äîëæíà çàâèñåòü îò ìàêñèìàëü-
íîãî èíâàðèàíòà, êîèì ïðè ðåäóêöèè äàííûõ ê äîñòàòî÷íûì ñòàòèñòèêàì
ÿâëÿåòñÿ S 2 , è ñóùåñòâóåò çàìå÷àòåëüíàÿ òåîðåìà (óâû, ñëèøêîì ñëîæíàÿ
â äîêàçàòåëüñòâå), óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî ìèíèìàêñíàÿ ýêâèâàðèàíòíàÿ îöåí-
êà ïàðàìåòðà ìàñøòàáà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàêñíîé â êëàññå âñåõ îöåíîê. Èòàê,

                                         152

Страницы