Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

S
2
.
ϑ = σ
−2
, m = (n−1)/2
T =
P
n
k=1
(X
k
−
X)
2
ϑ :
p (t |ϑ) =
ϑ
m
2
m
Γ(m)
t
m−1
exp
−
t ϑ
2
, t > 0.
ϑ
g(θ) =
a
λ
Γ(λ)
θ
λ−1
exp{−a θ}, t > 0; a > 0, λ > 0.
ϑ,
T ϑ, T.
T ϑ
p (t |θ)g(θ) = C(t; a λ) θ
m+λ−1
exp{−θ (a + t/2) },
C(t; a λ) =
a
λ
t
m−1
2
m
Γ(m) Γ(λ)
,
h( θ |T ) =
A
γ
Γ(γ)
θ
γ−1
exp{−A θ },
A = a + T, γ = m + λ.
H(d |T ) =
Z
|d
√
θ−1 |6∆
h( θ |T ) dt =
A
γ
Γ(γ)
Z
((1+∆)/d)
2
(1−∆)/d)
2
θ
γ−1
exp{−A θ }dt.
ïðîáëåìà ñâåëàñü ê íàõîæäåíèþ ìèíèìàêñíîé îöåíêè, ÿâëÿþùåéñÿ òîëüêî
ôóíêöèåé ìàêñèìàëüíîãî èíâàðèàíòà S 2 .
  Îáðàòèìñÿ ê áàéåñîâñêîìó ìåòîäó ïîñòðîåíèÿ ìèíèìàêñíîé îöåíêè. Ïî-
ñêîëüêó àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò ïðàâèëà îñòàíîâêè, òî
òàêîé ìåòîä äàñò óíèâåðñàëüíóþ ìèíèìàêñíóþ îöåíêó, êîòîðàÿ ñîîòâåò-
ñòâóåò ìèíèìàëüíîìó ñðåäíåìó îáúåìó íàáëþäåíèé.
  Ââåäåì ñëó÷àéíûé ïàðàìåòðà ϑ = σ −2 , ïîëîæèì m = (n−1)/2 è çàïè-
                                                                                     Pn
øåì â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ óñëîâíóþ ïëîòíîñòü ñòàòèñòèêè T =                               k=1 (Xk   −
X)2 îòíîñèòåëüíî ϑ :
                                 ϑm
                                                                 
                                                             tϑ
                    p (t | ϑ) = m     tm−1 exp             −          ,    t > 0.
                               2 Γ(m)                         2
Âûáåðåì â êà÷åñòâå àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ϑ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïëîòíîñòüþ
                      aλ λ−1
              g(θ) =      θ  exp{− a θ},               t > 0; a > 0, λ > 0.
                     Γ(λ)
Íàéäåì ïëîòíîñòü àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ϑ, êîòîðàÿ ðàâíà ñîâ-
ìåñòíîé ïëîòíîñòè T è ϑ, ïîäåëåííîé íà ìàðãèíàëüíóþ ïëîòíîñòü T. Îä-
íàêî óæå èç âèäà ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòè T è ϑ

              p (t | θ)g(θ) = C(t; a λ) θm+λ−1 exp{ − θ (a + t/2) },

ãäå
                                    aλ tm−1
                      C(t; a λ) = m          ,
                                 2 Γ(m) Γ(λ)
ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå åñòü ãàììà-ðàñ-
ïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ
                                         Aγ γ−1
                           h( θ | T ) =      θ  exp{ − A θ },
                                        Γ(γ)
ãäå A = a + T, γ = m + λ.
  Ïðè ïîñòðîåíèè áàéåñîâñêîé îöåíêè äëÿ ôóíêöèè ïîòåðü òèïà 1 0 óäîá-
íåå îïåðèðîâàòü íå àïîñòåðèîðíûì ðèñêîì, à àïîñòåðèîðíîé íàäåæíîñòüþ
                                                           ((1+∆)/d)2
                                                 Aγ
                      Z                                Z
  H(d | T )   =                 h( θ | T ) dt =                           θγ−1 exp{ − A θ } dt.
                     √
                                                Γ(γ)   (1−∆)/d)2
                  | d θ−1 |6∆



                                              153

Страницы