Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H
0
:
f
0
H
1
: f
1
n = 1, 2, . . .
L
n
(X
(n)
) =
n
Y
k=1
f
1
(X
k
)
f
0
(X
k
)
,
A
0
A
1
, A
0
< 1 < A
1
,
ν = min{n : L
n
(X
(n)
) 6 A
0
L
n
(X
(n)
) > A
1
} . (12.1)
L
n
(X
(n)
) 6 A
0
,
H
0
, L
n
(X
(n)
) > A
1
, H
1
.
H
0
H
1
,
E
0
ν E
1
ν.
A
0
A
1
α
0
α
1
,
  12.2. Îïòèìàëüíûé ïîñëåäîâàòåëüíûé êðèòåðèé, ãàðàíòèðóþ-
ùèé çàäàííûå îãðàíè÷åíèÿ íà âåðîÿòíîñòè îøèáîê.                       Ïðè ðàçëè-
÷åíèè äâóõ ïðîñòûõ ãèïîòåç ( H0 : âûáîð ïðîèñõîäèò èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
ïëîòíîñòüþ f0 è H1 : ïëîòíîñòü íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû f1 )
ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (êðèòåðèé) ÍåéìàíàÏèðñîíà ÿâëÿåòñÿ ìèíè-
ìàêñíûì ïðè ëþáîì ïðàâèëå îñòàíîâêè. Îïòèìàëüíîå ïî îáúåìó íàáëþäå-
íèé ïðàâèëî îñòàíîâêè áûëî íàéäåíî Âàëüäîì è îíî òàê æå, êàê è êðèòå-
ðèé ÍåéìàíàÏèðñîíà, îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ. Âñÿ ïðî-
öåäóðà ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíûì êðèòåðèåì îòíîøåíèÿ âåðîÿòíîñòåé (ñîêðàùåííî ÏÊÎÂ) è
îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
  Äëÿ êàæäîãî øàãà n = 1, 2, . . . ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ââåäåì
ñòàòèñòèêó îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
                                           n
                                  (n)
                                           Y f1 (Xk )
                          Ln (X         )=            ,
                                             f0 (Xk )
                                           k=1

âûáåðåì äâå íåîòðèöàòåëüíûå êîíñòàíòû A0 è A1 , A0 < 1 < A1 , (ïðàâèëî
èõ âûáîðà áóäåò óêàçàíî íèæå) è îïðåäåëèì íåðàíäîìèçèðîâàííîå ïðàâèëî
îñòàíîâêè ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ïîñðåäñòâîì ìîìåíòà îñòàíîâêè

            ν = min{ n : Ln (X (n) ) 6 A0 èëè Ln (X (n) ) > A1 } .             (12.1)
Ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ïîñëå
îñòàíîâêè ýêñïåðèìåíòà îêàçàëîñü, ÷òî Ln (X (n) ) 6 A0 , òî ïðèíèìàåòñÿ
ãèïîòåçà H0 , åñëè æå Ln (X (n) ) > A1 , òî ïðèíèìàåòñÿ H1 .
  Â êîíöå ñîðîêîâûõ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà Âàëüä è Âîëüôîâèö ïîêàçàëè,
÷òî ÏÊÎÂ îáëàäàåò ñëåäóþùèì îïòèìàëüíûì ñâîéñòâîì.
  Òåîðåìà 12.3. Ñðåäè âñåõ ïðîöåäóð ðàçëè÷åíèÿ ãèïîòåç               H0   è   H1 ,   âå-

ðîÿòíîñòè îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåò-

ñòâóþùèõ âåðîÿòíîñòåé ïîñëåäîâàòåëüíîãî êðèòåðèÿ îòíîøåíèÿ âåðîÿòíî-

ñòåé, ïîñëåäíèé îáëàäàåò ìèíèìàëüíûìè çíà÷åíèÿìè          E0 ν   è   E1 ν.
  Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû áîëåå ÷åì ñëîæíî è ìû íå áóäåì èì çàíè-
ìàòüñÿ. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî åñëè ìîæíî âûáðàòü êîíñòàíòû A0 è A1 òà-
êèì îáðàçîì, ÷òîáû âåðîÿòíîñòè îøèáîê ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ÏÊÎÂ áû-
ëè ðàâíû çàäàííûì çíà÷åíèÿì α0 è α1 , òî ÏÊΠìèíèìèçèðóåò ñðåäíèé

                                          155

Страницы