Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(α
0
, α
1
)
L
n
(X
(n)
)
n (= 1, 2, . . .) A
0
=
A
0
(α
0
, α
1
) A
1
= A
1
(α
0
, α
1
),
α
0
α
1
.
L
n
(X
(n)
)
A
0
= A
0
(α
0
, α
1
) A
1
= A
1
(α
0
, α
1
),
α
0
, α
1
→ 0.
ν,
Z
k
= ln
f
1
(X
k
)
f
0
(X
k
)
, k = 1, 2, . . . ,
X
1
P(Z
1
= 0) < 1, 0 < δ < 1
C > 0,
P(ν > n) 6 Cδ
n
.
c = ln A
1
− ln A
0
P( |Z
1
| 6 c ) = p < 1. ν > n
ln A
0
<
k
X
i=1
Z
i
< ln A
0
k = 1, . . . , n − 1 |Z
k
| 6 c k =
1, . . . , n − 1. P( ν > n ) 6 p
n−1
C = p
−1
δ = p. P( |Z
1
| 6 c ) = 1,
îáúåì íàáëþäåíèé ïðè ñïðàâåäëèâîñòè îáåèõ ãèïîòåç ñðåäè âñåõ (α0 , α1 ) -
ãàðàíòèéíûõ ïðîöåäóð ïðîâåðêè ïðîñòûõ ãèïîòåç. Íà ýòîò ñ÷åò èìååòñÿ
òåîðåìà, ÷òî â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè Ln (X (n) )
ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì n (= 1, 2, . . .) ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû A0 =
A0 (α0 , α1 ) è A1 = A1 (α0 , α1 ), íà êîòîðûõ âåðîÿòíîñòè îøèáîê ÏÊÎÂ
ðàâíû ïðåäïèñàííûì çíà÷åíèÿì α0 è α1 .  ñëó÷àå æå äèñêðåòíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ Ln (X (n) ) ýòîãî ìîæíî äîñòè÷ü, îñóùåñòâëÿÿ ðàíäîìèçàöèþ â
ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè ïðîäîëæåíèÿ ýêñïåðèìåíòà, à òàê-
æå äîïóñêàÿ ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ î ñïðàâåäëèâîñòè òîé èëè èíîé ãèïîòåçû
áåç ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé (åñòåñòâåííî, íå ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà). Êàê
ýòî ñäåëàòü è îñòàíåòñÿ ëè ïîñëå ýòîãî ÏÊÎÂ îïòèìàëüíûì ïî îáúåìó
íàáëþäåíèé êðèòåðèåì, íàóêå íå èçâåñòíî.
  Òåì íå ìåíåå, ñóùåñòâóåò äîâîëüíî ïðîñòîé ñïîñîá ïðèáëèæåííîãî îïðå-
äåëåíèÿ A0 = A0 (α0 , α1 ) è A1 = A1 (α0 , α1 ), ïðè÷åì òåîðåòè÷åñêèå èçûñêà-
íèÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîëó÷åííûå òàêèì îáðàçîì ãðà-
íèöû àñèìïòîòèò÷åñêè òî÷íû ïðè α0 , α1 → 0. Èçëîæåííûé íèæå ìåòîä
îïðåäåëåíèÿ ãðàíèö îñíîâàí íà êîíå÷íîñòè ìîìåíòà îñòàíîâêè ν, çàäàâà-
åìîãî ôîðìóëîé (12.1). Ïîëîæèì
                               f1 (Xk )
                     Zk = ln            ,      k = 1, 2, . . . ,
                               f0 (Xk )
è äîêàæåì, ÷òî ñïðàâåäëèâî

  Ïðåäëîæåíèå 12.1. Åñëè ðàñïðåäåëåíèå íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû  X1 òàêîâî,   ÷òî   P(Z1 = 0) < 1,       òî ñóùåñòâóþò òàêèå   0<δ <1   è

C > 0, ÷òî
                               P(ν > n) 6 Cδ n .
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü c = ln A1 − ln A0 è äîïóñòèì ñíà÷àëà, ÷òî
P( | Z1 | 6 c ) = p < 1. Ñîáûòèå ν > n îçíà÷àåò, ÷òî
                                      k
                                      X
                            ln A0 <         Zi < ln A0
                                      i=1

ïðè âñåõ k = 1, . . . , n − 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, | Zk | 6 c ïðè âñåõ k =
1, . . . , n − 1. Òàêèì îáðàçîì, P( ν > n ) 6 pn−1 è óòâåðæäåíèå ïðåäëî-
æåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ ñ C = p−1 è δ = p. Åñëè æå P( | Z1 | 6 c ) = 1, òî

                                        156

Страницы