Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

d
σ :
ˆσ
G
=
s
2∆ A
γ ln((1 + ∆)/(1 − ∆))
.
a λ
σ,
ˆσ
n
= S
s
2∆
ln((1 + ∆)/(1 − ∆))
,
S
2
=
1
n − 1
n
X
k=1
(X
k
− X)
2
.
T,
ˆσ
n
,
σ
H(n, ∆) = K
n−1
(n − 1) b(∆) (1 + ∆)
2
− K
n−1
(n − 1) b(∆) (1 − ∆)
2
,
b(∆) =
1
2 ∆
ln
1 + ∆
1 − ∆
.
n
∗
∆ 1 −α
n, H(n, ∆) > 1 − α.
O(1/
√
n). ∆ → 0
n
∗
n
∗
∼
Φ
−1
(1 − α/2)
∆
√
2
2
.
Âû÷èñëÿÿ îò ýòîé ôóíêöèè ïðîèçâîäíóþ ïî àðãóìåíòó d è ïðèðàâíèâàÿ åå
íóëþ, íàõîäèì òî÷êó äîñòèæåíèÿ ìàêñèìóìà àïîñòåðèîðíîé íàäåæíîñòè,
à âìåñòå ñ òåì è áàéåñâñêóþ îöåíêó σ :
                               s
                                            2∆ A
                       σ̂G =                             .
                                   γ ln((1 + ∆)/(1 − ∆))
  Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè ñòðåìëåíèè îáåèõ ïàðàìåòðîâ a è λ àïðèîð-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìû ïîëó÷àåì ìèíèìàêñíóþ îöåíêó σ, ðàâíóþ
                                 s
                                             2∆
                       σ̂n = S                           ,
                                     ln((1 + ∆)/(1 − ∆))
ãäå
                                           n
                           2  1 X
                         S =      (Xk − X)2 .
                             n−1
                                          k=1
Äåëî â òîì, ÷òî ïðåäåë àïîñòåðèîðíîé íàäåæíîñòè íå çàâèñèò îò T, ñëå-
äîâàòåëüíî, ñîâïàäàåò ñ ïðåäåëîì àïðèîðíîé íàäåæíîñòè, íàêîíåö, ïðåäåë
àïðèîðíîé íàäåæíîñòè ñîâïàäàåò ñ íàäåæíîñòüþ îöåíêè σ̂n , êîòîðàÿ íå
çàâèñèò îò σ è ðàâíà

H(n, ∆) = Kn−1 (n − 1) b(∆) (1 + ∆)2 − Kn−1 (n − 1) b(∆) (1 − ∆)2 ,
                                                                

ãäå
                                  1     1+∆
                           b(∆) =    ln       .
                                 2∆     1−∆
Ññûëêà íà Òåîðåìó 5.2 î ìèíèìàêñå çàâåðøàåò ïîñòðîåíèå ìèíèìàêñíîé
îöåíêè. Ïîñòîÿíñòâî åå ðèñêà âëå÷åò íåçàâèñèìîñòü ïðàâèëà îñòàíîâêè
îò ðåçóëüòàòîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåíåáðåãàÿ
òðèâèàëüíîé ðàíäîìèçàöèåé ïðè îïðåäåëåíèè îáúåìà íàáëþäåíèé, íàõî-
äèì ìèíèìàëüíûé îáúåì n∗ íàáëþäåíèé, îáåñïå÷èâàþùèé îòíîñèòåëüíóþ
òî÷íîñòü ∆ è íàäåæíîñòü 1 − α ïðîöåäóðû îöåíèâàíèÿ, êàê ìèíèìàëüíîå
öåëîå n, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó H(n, ∆) > 1 − α.
  Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå,
åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíîé íîðìàëüíîé àïïðîêñèìàöèåé õè-êâàäðàò
                                                √
ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùåé òî÷íîñòü O(1/ n). Ïðè ∆ → 0 ìèíèìàëüíûé
îáúåì n∗ èìååò àñèìïòîòèêó:
                                                       2
                                       Φ−1 (1 − α/2)
                                   
                         n∗ ∼                 √             .
                                           ∆ 2
                                          154

Страницы