Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
θ
δ(X
(ν)
)
X
(ν)
= (X
1
, . . . , X
ν
) θ.
θ∈Θ
E
θ
ν P
θ
( |δ(X
(ν)
) − θ | 6 ∆) > 1 − α
θ ∈ Θ ⊂ R, ∆ 1 − α
ξ f(x − θ),
ϕ
∗
s
θ
Θ.
α,
n,
ˆ
θ(X
(n)
)
(∆) (1 − α).
f(x − θ)
σ
2
θ.
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.

  12.1.   Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ñ ãàðàíòèðîâàííîé òî÷íîñòüþ è
íàäåæíîñòüþ.     Â ðàìêàõ îáùåé ïðîáëåìû θ -ãàðàíòèéíûõ ïðîöåäóð îöåí-
êè ïàðàìåòðà θ ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëü-
íîé îáëàñòè ôèêñèðîâàííîãî äèàìåòðà ñ îïòèìèçàöèåé òðåáóåìîãî äëÿ
âûïîëíåíèÿ òàêèõ ãàðàíòèé îáúåìà íàáëþäåíèé. Ìû íå áóäåì êàñàòüñÿ
ïðîáëåìû îöåíêè ìíîãîìåðíîãî ïàðàìåòðà è ðàññìîòðèì òîëüêî çàäà÷ó
ãàðàíòèéíîé îöåíêè δ(X (ν) ) ïî ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèÿ îäíîé âûáîðêè
X (ν) = (X1 , . . . , Xν ) äåéñòâèòåëüíîãî ïàðàìåòðà θ. Çàäà÷à ñîñòîèò â ìè-
íèìèçàöèè supθ∈Θ Eθ ν ñ îãðàíè÷åíèÿìè Pθ ( | δ(X (ν) ) − θ | 6 ∆) > 1 − α
ïðè ëþáîì θ ∈ Θ ⊂ R, ãäå ∆  òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü îöåíêè, à 1 − α  åå
ìèíèìàëüíî äîïóñòèìàÿ íàäåæíîñòü.
  Ìîæíî äîêàçàòü, è ýòî íå òàê ñëîæíî, êàê ãðîìîçäêî, ÷òî â ñëó÷àå îöåí-
êè ïàðàìåòðà ñäâèãà, òî åñòü êîãäà ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè íàáëþäàåìîé ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò âèä f (x − θ), îïòèìàëüíîå ïðàâèëî îñòàíîâêè
ϕ∗s íå çàâèñèò îò ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé. Ýòî ñëåäñòâèå Òåîðåìû 10.1 î
ïîñòîÿíñòâå ôóíêöèè θ -ðèñêà ýêâèâàðèàíòíîé îöåíêè ïðè òðàíçèòèâíîé
ãðóïïå ïðåîáðàçîâàíèé ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Θ. Ðàíäîìèçàöèÿ
ìîìåíòà îñòàíîâêè, êîòîðóþ ìîæíî ïðîâåñòè äî ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé,
íåçíà÷èòåëüíî ñîêðàùàåò ñðåäíèé îáúåì íàáëþäåíèé ïðè ïðàêòè÷åñêè èñ-
ïîëüçóåìûõ (ìàëûõ) çíà÷åíèÿõ α, è åþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òàêèì îáðà-
çîì, ïðàêòè÷åñêè îñìûñëåííàÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ïëàíèðîâàíèÿ îáúåìà
èñïûòàíèé ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ìèíèìàëüíîãî îáúåìà âûáîðêè n, ïðè
êîòîðîì ñóùåñòâóåò îöåíêà θ̂(X (n) ) ñ çàäàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà åå òî÷-
íîñòü (∆) è íàäåæíîñòü (1 − α). Òàêîé îáúåì íàáëþäåíèé íàçûâàåòñÿ
íåîáõîäèìûì îáúåìîì âûáîðêè. Åñòåñòâåííî, áåç ñïåöèôèêàöèè f (x − θ)
çäåñü íå îáîéäåøüñÿ, ïîýòîìó ðåøåíèå äàííîé ïðîáëåìû èëëþñòðèðóåòñÿ
íà ïðèìåðàõ.

  Ïðèìåð 12.1   . Íåîáõîäèìûé îáúåì âûáîðêè ïðè îöåíêå ñðåäíåãî çíà÷å-
íèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà çíà-
÷åíèå äèñïåðñèè σ 2 íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíî, à îöåíêå ïîäëå-
æèò ñðåäíåå çíà÷åíèå θ.  òàêîé ñèòóàöèè ðåøåíèå çàäà÷è ïî îïòèìèçàöèè


                                    148

Страницы