Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

I
i
(θ) Θ
i
, I
i
(θ) =
1 θ ∈ Θ
i
, i = 0, 1. ϕ
R(d
0
|ϕ) = P( ϑ ∈ Θ
1
|δ(X) = d
0
) =
E [ I
1
(ϑ)( 1 − ϕ(X) ) ]
Ψ(d
0
)
, (11.1)
R(d
1
|ϕ) = P( ϑ ∈ Θ
0
|δ(X) = d
1
) =
E [ ( I
0
(ϑ) )ϕ(X) ]
Ψ(d
1
)
, (11.2)
ϕ
∗
R(d
0
|ϕ
∗
) 6 β
0
,
R(d
1
|ϕ
∗
) → min .
d, θ
θ
d x θ
d
p ( x |θ) h
G
( θ |x).
P(ϑ ∈ Θ
1
|X) = 1 − P(ϑ ∈ Θ
0
|X),
P(ϑ ∈ Θ
1
|X).
ϕ
∗
, d
P(ϑ ∈ Θ
1
|X).
ϕ
∗
ôîðìóë.
  Ïóñòü Ii (θ)  èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà Θi , òî åñòü Ii (θ) =
1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà θ ∈ Θi , i = 0, 1. Êà÷åñòâî êðèòåðèÿ ϕ
îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ âåëè÷èíàìè
                                             E [ I1 (ϑ)( 1 − ϕ(X) ) ]
     R(d0 | ϕ) = P( ϑ ∈ Θ1 | δ(X) = d0 ) =                            ,   (11.1)
                                                       Ψ(d0 )
                                         E [ ( I0 (ϑ) )ϕ(X) ]
      R(d1 | ϕ) = P( ϑ ∈ Θ0 | δ(X) = d1 ) =                   , (11.2)
                                                Ψ(d1 )
ïðåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ïðèíÿòèÿ îøèáî÷íûõ ðå-
øåíèé è íàçûâàåìûìè d-àïîñòåðèîðíûìè ðèñêàìè (êîðîòêî, d-ðèñêàìè)
1-ãî è 2-ãî ðîäà. Åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ èìåþò íóëåâóþ âåðîÿò-
íîñòü, òî ðèñêè ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ.

  Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà.        Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü êðèòåðèé ϕ∗ , óäîâëå-
òâîðÿþùèé çàäàííîìó îãðàíè÷åíèþ íà âåëè÷èíó d-ðèñêà 1-ãî ðîäà:

                             R(d0 | ϕ∗ ) 6 β0 ,

è ìèíèìèçèðóþùèé d-ðèñê 2-ãî ðîäà:        R(d1 | ϕ∗ ) → min .

  11.2. Îïòèìàëüíûé êðèòåðèé.          Îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû ñðåäíèõ ïî-
òåðü ñðåäè òåõ ýêñïåðèìåíòîâ, êîòîðûå çàâåðøèëèñü ïðèíÿòèåì îäíîãî è
òîãî æå ðåøåíèÿ d, ïðèâîäèò, åñëè ïðîâîäèòü ïàðàëëåëè ñ θ -ðèñêîì, ê
çàìåíå â ôîðìóëàõ, îïðåäåëÿþùèõ θ -îïòèìàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ïðàâè-
ëà, ïåðåìåííûõ d è x íà θ è íàîáîðîò. Òàê, åñëè ÐÍÌ êðèòåðèé îïðå-
äåëÿëñÿ ÷åðåç îòíîøåíèå ïðàâäîïîäîáèé, òî êðèòåðèé, ìèíèìèçèðóþùèé
d -ðèñê, ñëåäóåò ñòðîèòü, èñïîëüçóÿ îòíîøåíèå àïîñòåðèîðíûõ âåðîÿòíî-
ñòåé ãèïîòåç: p ( x | θ) çàìåíÿåòñÿ íà hG ( θ | x). Ïîñêîëüêó àïîñòåðèîðíàÿ
âåðîÿòíîñòü P(ϑ ∈ Θ 1 | X) = 1 − P(ϑ ∈ Θ 0 | X), òî îòíîøåíèå àïîñòå-
ðèîðíûõ âåðîÿòíîñòåé åñòü ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ P(ϑ ∈ Θ 1 | X). Ñëåäóÿ
ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå ýâðèñòè÷åñêîé ïàðàëëåëè ìåæäó äâóìÿ ïîäõîäà-
ìè ê îïðåäåëåíèþ ðèñêà, êðèòåðèé ϕ∗ , ìèíèìèçèðóþùèé d -ðèñê âòîðîãî
ðîäà, äîëæåí îïðåäåëÿòüñÿ àïîñòåðèîðíîé âåðîÿòíîñòüþ P(ϑ ∈ Θ 1 | X).
Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíûé êðèòåðèé ϕ∗ îòâåðãàåò íóëåâóþ
ãèïîòåçó, åñëè åå àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü äîñòàòî÷íî ìàëà, èëè, ÷òî òî

                                    137

Страницы