Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
I( i, 1 − i |ξ) = E
i
ln
f
i
(ξ)
f
1−i
(ξ)
, i = 0, 1, −
ξ H
i
H
1−i
, i = 0, 1.
L
ν
α
0
α
1
,
E
0
L
ν
(X
(ν)
) = (1 − α
0
) ln
α
1
1 − α
0
+ α
0
ln
1 − α
1
α
0
E
1
L
ν
(X
(ν)
) = α
1
ln
α
1
1 − α
0
+ (1 − α
1
) ln
1 − α
1
α
0
.
E
0
ν =
(1 − α
0
) ln [ (1 − α
0
)/α
1
] + α
0
ln [ α
0
/(1 − α
1
) ]
I( 0, 1 |ξ)
,
E
1
ν =
α
1
ln [ α
1
)/(1 − α
0
] + (1 − α
1
) ln [ (1 − α
1
)/α
0
]
I( 1, 0 |ξ)
.
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
θ.
θ (> θ
0
),
θ
0
,
θ
0
.
m(θ), θ ∈ Θ ⊂ R,
m(θ) 6 α
0
θ 6 θ
0
m(θ) > 1 − α
1
, θ > θ
1
,
θ
1
(> θ
0
)
ãäå, êàê è â § 3,
                                                f i (ξ)
                    I( i, 1 − i | ξ) = Ei ln            ,   i = 0, 1, −
                                               f1−i (ξ)
èíôîðìàöèÿ ïî ÊóëüáàêóËåéáëåðó (ðàçëè÷àþùàÿ èíôîðìàöèÿ), ñîäåð-
æàùàÿ â íàáëþäåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â ïîëüçó ãèïîòåçû Hi ïðîòèâ
H1−i , i = 0, 1.
  Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó ïî ïðåäïîëîæåíèþ ñòàòèñòèêà Lν ìîæåò
ïðèíèìàòü òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ, ðàâíûå ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿì íåðàâåíñòâà
(12.2), ñ âåðîÿòíîñòÿìè, îïðåäåëÿåìûìè çàäàííûìè α0 è α1 , òî
                                                    α1           1 − α1
              E 0 Lν (X (ν) ) = (1 − α0 ) ln             + α0 ln
                                                  1 − α0           α0
                                         α1                  1 − α1
             E1 Lν (X (ν) ) = α1 ln           + (1 − α1 ) ln        .
                                       1 − α0                  α0
  Ñëåäîâàòåëüíî,
                     (1 − α0 ) ln [ (1 − α0 )/α1 ] + α0 ln [ α0 /(1 − α1 ) ]
          E0ν =                                                              ,
                                          I( 0, 1 | ξ)
               α1 ln [ α1 )/(1 − α0 ] + (1 − α1 ) ln [ (1 − α1 )/α0 ]
          E1ν =                                                       .
                                     I( 1, 0 | ξ)
  Ïîëó÷åííûå ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ ñðåäíåãî îáúåìà âûáîðêè ñîâ-
ïàäàþò ñ íèæíèìè ãðàíèöàìè (3.9) äëÿ ëþáîé ãàðàíòèéíîé ïðîöåäóðû
ðàçëè÷åíèÿ äâóõ ïðîñòûõ ãèïîòåç. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè íåñòðî-
ãîå ïîäòâåðæäåíèå îïòèìàëüíîñòè ÏÊΠñ òî÷êè çðåíèÿ ìèíèìàëüíîñòè
îáúåìà íàáëþäåíèé.

  Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó ðàçëè÷åíèÿ ñëîæíûõ ãèïîòåç H0 : θ 6 θ0 è
H1 : θ > θ0 ñ òî÷êè çðåíèÿ âîçìîæíîñòè ïðèìåíèòü ÏÊΠâ ýòîì ñëó÷àå.
Èòàê, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïëîòíîñòü íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çà-
âèñèò îò äåéñòâèòåëüíîãî ïàðàìåòðà θ. Çàìåòèì, ÷òî íà ïðàêòèêå îáû÷íî
íå èíòåðåñóþòñÿ ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ ïðè àëüòåðíàòèâàõ θ (> θ0 ), áëèç-
êèõ ê ãðàíèöå θ0 , íî æåëàþò êîíòðîëèðîâàòü âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ
àëüòåðíàòèâ, äîñòàòî÷íî óäàëåííûõ îò θ0 . Êðèòåðèé, ñëåäîâàòåëüíî, äîë-
æåí óäîâëåòâîðÿòü â òåðìèíàõ åãî ôóíêöèè ìîùíîñòè m(θ), θ ∈ Θ ⊂ R,
óñëîâèÿì m(θ) 6 α0 ïðè θ 6 θ0 è m(θ) > 1 − α1 , êîãäà θ > θ1 , ãäå
θ1 (> θ0 )  íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå àëüòåðíàòèâíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

                                           159

Страницы