Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ. (θ
0
, θ
1
)
θ
θ 6 θ
0
.
T
n
= T
n
(X
(n)
)
H
0
: θ = θ
0
H
1
: θ = θ
1
,
α
0
α
1
θ
θ
0
θ
1
. E
θ
ν θ ∈ Θ.
E
θ
ν, θ ∈ Θ, θ
0
θ
1
θ
E
θ
ν
(α
0
, α
1
)
ν = n.
(α
0
, α
1
)
θ∈Θ
E
θ
ν,
θ
1
→ θ
0
α
0
, α
1
→ 0.
θ
n
∗
(α
0
, α
1
)
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
θ. Èíòåðâàë (θ0 , θ1 ) îáû÷íî íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ áåçðàçëè÷èÿ  ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ, ÷òî êîãäà èñòèííîå çíà÷åíèå θ ïðèíàäëåæèò ýòîìó èíòåðâàëó, òî
ñòàòèñòèê íå íåñåò ñóùåñòâåííûõ ïîòåðü, ïðèíèìàÿ ãèïîòåçó θ 6 θ0 .
  Îêàçûâàåòñÿ, è ýòî ìîæíî äîêàçàòü, â ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé
ñ ìîíîòîííûì îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè Tn = Tn (X (n) ) îòíî-
øåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ ÏÊÎÂ, êàê êðèòåðèé ïðîâåðêè ïðîñòîé ãèïîòåçû
H0 : θ = θ0 ïðè ïðîñòîé àëüòåðíàòèâå H1 : θ = θ1 , èìååò ìîíîòîí-
íî âîçðàñòàþùóþ ôóíêöèþ ìîùíîñòè, äëÿ êîòîðîé, êàê è äëÿ ñðåäíåãî
îáúåìà íàáëþäåíèé, ñóùåñòâóþò äîñòàòî÷íî ïðîñòûå ïðèáëèæåííûå ôîð-
ìóëû. Òàêèì îáðàçîì, ÏÊÎÂ ñ âåðîÿòíîñòÿìè îøèáîê α0 è α1 ðåøàåò
ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó ãàðàíòèéíîãî ðàçëè÷åíèÿ ñëîæíûõ ãèïîòåç, ìèíèìè-
çèðóÿ ñðåäíèé îáúåì íàáëþäåíèé, êîãäà èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ
ðàâíî θ0 èëè θ1 . Íî òåïåðü íàñ èíòåðåñóåò Eθ ν ïðè âñåõ θ ∈ Θ. Îáû÷íî
ôóíêöèÿ Eθ ν, θ ∈ Θ, èìååò ìàêñèìóì ìåæäó θ0 è θ1 è óáûâàåò, êî-
ãäà θ óáûâàåò îò òî÷êè ìàêñèìóìà â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Ê ñîæàëåíèþ,
ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå Eθ ν áûâàåò áîëüøå, ÷åì íàèìåíüøèé ôèêñèðî-
âàííûé îáúåì íàáëþäåíèé, ïðè êîòîðîì ñóùåñòâóåò (α0 , α1 ) -ãàðàíòèéíûé
êðèòåðèé ñ òðèâèàëüíûì ìîìåíòîì îñòàíîâêè ν = n. Âàæíàÿ ïðîáëåìà
ïîñòðîåíèÿ (α0 , α1 ) -ãàðàíòèéíîãî êðèòåðèÿ, êîòîðûé ìèíèìèçèðîâàë áû
supθ∈Θ Eθ ν, äî ñèõ ïîð íå ïîëó÷èëà íàäëåæàùåãî ðåøåíèÿ.
   çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî âñå ïîëó÷åííûå âûøå ðåçóëüòàòû äëÿ õàðàê-
òåðèñòèê ÏÊΠíîñÿò àñèìïòîòè÷åñêèé õàðàêòåð: ãðàíèöû äëÿ îáëàñòè
ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé è ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îáúåìà íàáëþäåíèé àñèì-
ïòîòè÷åñêè òî÷íû, êîãäà θ1 → θ0 èëè α0 , α1 → 0.

  12.3.   Àñèìïòîòèêà ìèíèìàëüíîãî îáúåìà âûáîðêè, ïðè êîòî-
ðîì ñóùåñòâóåò    θ -ãàðàíòèéíûé êðèòåðèé. Ñðåäíèé îáúåì íàáëþ-
äåíèé â ïîñëåäîâàòåëüíîì ãàðàíòèéíîì êðèòåðèè îòíîøåíèÿ âåðîÿòíî-
ñòåé îáû÷íî ñðàâíèâàþò ñ òàê íàçûâàåìûì íåîáõîäèìûì îáúåìîì âûáîðêè
 ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì íàáëþäåíèé n∗ , îáåñïå÷èâàþùèì ñóùåñòâîâàíèå
(α0 , α1 ) -ãàðàíòèéíîãî êðèòåðèÿ â êëàññå âñåõ êðèòåðèåâ ñ ìîìåíòîì îñòà-
íîâêè, íå çàâèñÿùèì îò ðåçóëüòàòîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà.
  Êàê è â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïóíêòà 12.2, ðàññìîòðèì çàäà÷ó ðàçëè÷å-
íèÿ ñëîæíûõ ãèïîòåç H0 : θ 6 θ0 è H1 : θ > θ0 â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî

                                   160

Страницы