Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ξ
θ
n = 1, 2, . . .
n
∗
= n
∗
(θ
0
, θ
1
),
m(θ) 6 α
0
θ 6 θ
0
m(θ) > 1 − α
1
, θ > θ
1
,
θ
1
(> θ
0
)
θ.
n
∗
θ
0
§
ln f( x |θ)
U( θ
0
) θ
0
i( θ |ξ ) U( θ
0
).
Λ(ξ) = ln [ f( ξ |θ
1
)/f( ξ |θ
0
) ]
E
θ
|Λ(ξ) |
3
θ ∈ U( θ
0
).
˜n = ˜n(θ
0
, θ
1
) =
[ Φ
−1
(1 − α
0
) + Φ
−1
(1 − α
1
) ]
2
(θ
1
− θ
0
)
2
i( θ
0
|ξ )
. (12.3)
lim
θ
1
→θ
0
n
∗
(θ
0
, θ
1
)
˜n(θ
0
, θ
1
)
= 1 .
(n → ∞)
L
n
= L
n
(X
(n)
) =
n
X
k=1
ln
f(X
k
|θ
1
)
f
0
(X
k
|θ
0
)
θ
1
→ θ
0
E
θ
L
n
= nµ(θ) = n E
θ
Λ(ξ)
D
θ
L
n
= nσ
2
(θ) = n D
θ
Λ(ξ), θ =
θ
i
, i = 0, 1.
ïëîòíîñòü íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàâèñèò îò äåéñòâèòåëüíîãî
ïàðàìåòðà θ è ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü îáëàäàåò ìîíîòîííûì îò-
íîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ êðèòåðèåâ, îñíîâàííûõ
íà âûáîðêàõ ôèêñèðîâàííîãî îáúåìà n = 1, 2, . . . Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü
íàèìåíüøåå ÷èñëî íàáëþäåíèé n∗ = n∗ (θ0 , θ1 ), ïðè êîòîðîì ñóùåñòâóåò
êðèòåðèé èç çàäàííîãî êëàññà, ôóíêöèÿ ìîùíîñòè êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿ-
åò óñëîâèÿì m(θ) 6 α0 ïðè θ 6 θ0 è m(θ) > 1 − α1 , êîãäà θ > θ1 , ãäå
θ1 (> θ0 )  íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå àëüòåðíàòèâíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
θ.
   Àñèìïòîòèêà n∗ áóäåò èññëåäîâàòüñÿ ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëî-
âèé ðåãóëÿðíîñòè.
   ( A ) Ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò ðåãóëÿðåí â òî÷êå θ0 (ñì. § 3),
òî åñòü ôóíêöèÿ ln f ( x | θ) äèôôåðåíöèðóåìà â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U ( θ0 ) òî÷êè θ0 è èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó
i( θ | ξ ) ïîëîæèòåëüíà è íåïðåðûâíà â U ( θ0 ).
   ( B ) Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Λ(ξ) = ln [ f ( ξ | θ1 )/f ( ξ | θ0 ) ] îáëàäàåò êî-
íå÷íûì àáñîëþòíûì ìîìåíòîì òðåòüåãî ïîðÿäêà Eθ | Λ(ξ) |3 ïðè âñåõ
θ ∈ U ( θ0 ).
   Òåîðåìà 12.3. Ïóñòü

                                     [ Φ−1 (1 − α0 ) + Φ−1 (1 − α1 ) ]2
                 ñ = ñ(θ0 , θ1 ) =                                    .    (12.3)
                                            (θ1 − θ0 )2 i( θ0 | ξ )
Òîãäà ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé            (A)   è   (B)
                                       n∗ (θ0 , θ1 )
                                 lim                 =1.
                                θ1 →θ0 ñ(θ0 , θ1 )

   Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ïðåäïîøëåì ëåììó òåõíè÷åñêîãî õàðàêòåðà, óñ-
òàíàâëèâàþùóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ (n → ∞) íîðìàëüíîñòü ñòàòèñòèêè îò-
íîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
                                                  n
                                       (n)
                                                  X          f (Xk | θ1 )
                        Ln   = Ln (X         )=         ln
                                                             f0 (Xk | θ0 )
                                                  k=1

è àñèìïòîòèêó ïðè θ1 → θ0 åå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ Eθ Ln = nµ(θ) = n Eθ Λ(ξ)
è äèñïåðñèè Dθ Ln = nσ 2 (θ) = n Dθ Λ(ξ), êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ =
θi , i = 0, 1.

                                              161

Страницы