Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

F
θ,n
( z ) = P
L
n
− nµ(θ)
σ(θ)
√
n
< z
F
θ,n
( z ) = Φ(z) + C(n, θ)/
√
n , (12.4)
C(n, θ) n θ ∈
U( θ
0
) .
θ
1
→ θ
0
µ(θ
0
) = −
∆
2
2
i( θ
0
|ξ ) + o(∆
2
), µ(θ
1
) =
∆
2
2
i( θ
0
|ξ ) + o(∆
2
),
σ
2
(θ
0
) ∼ σ
2
(θ
1
) = ∆
2
i( θ
0
|ξ ) + o(∆
2
),
∆ = θ
1
− θ
0
.
n,
F
n
n → ∞.
µ(θ
0
) µ(θ
1
)
σ
2
(θ
0
) = E
θ
0
Λ
2
(ξ) + O(∆
4
) = E
θ
0
ln
1 −
1 −
f(ξ |θ
1
)
f(ξ |θ
0
)
2
+ O(∆
4
) =
E
θ
0
B(ξ) +
B
2
(ξ)
2(1 − λΛ(ξ))
2
2
+ O(∆
4
),
0 < λ < 1
B(ξ) =
f(ξ |θ
1
) − f(ξ |θ
0
)
f(ξ |θ
0
)
= ∆
∂ ln f(ξ |θ)
∂θ
θ=θ
0
+ o(∆) .
   Ëåììà 12.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ                   (B) äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
                                                                  
                                               Ln − nµ(θ)
                          Fθ,n ( z ) = P             √    < z
                                                 σ(θ) n
íîðìèðîâàííîé ñòàòèñòèêè ëîãàðèôìè÷åñêîãî îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ

èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå

                                                       √
                           Fθ,n ( z ) = Φ(z) + C(n, θ)/ n ,                              (12.4)

ãäå  C(n, θ)     îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ öåëî÷èñëåííîãî àðãóìåíòà                     n    è   θ ∈
U ( θ0 ) .
   Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ           (A)    è   θ1 → θ0   ñïðàâåäëèâû àñèìïòîòè÷åñêèå

ôîðìóëû

                   ∆2                                         ∆2
        µ(θ0 ) = −    i( θ0 | ξ ) + o(∆2 ),          µ(θ1 ) =    i( θ0 | ξ ) + o(∆2 ),
                   2                                          2
                       σ 2 (θ0 ) ∼ σ 2 (θ1 ) = ∆2 i( θ0 | ξ ) + o(∆2 ),
ãäå   ∆ = θ1 − θ0 .
   Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäñòàâëåíèå (12.4) åñòü ñëåäñòâèå èçâåñòíîé ïðå-
äåëüíîé òåîðåìû ÁåððèÝññåíà äëÿ ñóìì íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðå-
äåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Íàëè÷èå òðåòüåãî ìîìåíòà ó ñëàãàåìûõ ïîç-
âîëÿåò ïðåäñòàâèòü ðàñïðåäåëåíèå ñóììû â âèäå (12.4) ïðè ëþáûõ êîíå÷-
íûõ n, õîòÿ îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè õàðàêòåðèçóåò ðàâíî-
ìåðíóþ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè Fn ê íîðìàëüíîìó çàêîíó ïðè n → ∞.
   Àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìóëû äëÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé µ(θ0 ) è µ(θ1 ) åñòü
÷àñòíûé ñëó÷àé Ëåììû 3.1, óñòàíàâëèâàþùåé ñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷àþùåé
è òî÷å÷íîé èíôîðìàöèÿìè. Àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìóëû äëÿ äèñïåðñèé äî-
êàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Íàïðèìåð,
                                                                             2
                                                                 f (ξ | θ 1 )
σ 2 (θ0 ) = Eθ0 Λ2 (ξ) + O(∆4 ) = Eθ0 ln 1 − 1 −                                     + O(∆4 ) =
                                                                 f (ξ | θ0 )
                                                           2
                                               B 2 (ξ)
                             
                        Eθ0 B(ξ) +                       2
                                                               + O(∆4 ),
                                         2(1 − λΛ(ξ))
ãäå 0 < λ < 1 è â ñèëó óñëîâèÿ (A) (ñðàâíèòå ñ äîêàçàòåëüñòâîì Ëåììû
3.1)                                                                 
                     f (ξ | θ1 ) − f (ξ | θ0 )         ∂ ln f (ξ | θ)
           B(ξ) =                              =∆                             + o(∆) .
                            f (ξ | θ0 )                     ∂θ          θ=θ0

                                               162

Страницы