Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n,
√
n − 1(µ(θ
1
) − µ(θ
0
)) < σ(θ
0
) F
−1
θ
0
,n−1
(1 − α
0
) − σ(θ
1
) F
−1
θ
1
,n−1
(α
1
) .
µ(θ
1
) − µ(θ
0
) > 0, n
∗
σ(θ
0
) F
−1
θ
0
,n
∗
(1 − α
0
) − σ(θ
1
) F
−1
θ
1
,n
∗
(α
1
)
µ(θ
1
) − µ(θ
0
)
!
2
6 n
∗
<
1 +
σ(θ
0
) F
−1
θ
0
,n
∗
−1
(1 − α
0
) − σ(θ
1
) F
−1
θ
1
,n
∗
−1
(α
1
)
µ(θ
1
) − µ(θ
0
)
!
2
.
∆ = θ
1
− θ
0
→ 0,
Φ
−1
(p) = −Φ
−1
(1 −p)
[ Φ
−1
(1 − α
0
) + Φ
−1
(1 − α
1
) + C
1
/
√
n
∗
) ]
2
∆
2
i( θ
0
|ξ )
6 n
∗
<
1 +
[ Φ
−1
(1 − α
0
) + Φ
−1
(1 − α
1
) + C
2
/
√
n
∗
) ]
2
∆
2
i( θ
0
|ξ )
, (12.5)
C
i
, i = 1, 2, θ
1
n.
n
∗
∼ ˜n, ∆ → 0,
n
∗
= ˜n(1 + ε), ˜n
C
3
∆ 6 ε < 1 + C
4
∆, C
3
C
4
2
n
∗
H
0
0
: θ = θ
0
H
0
1
: θ = θ
1
, ∆ → 0,
E
θ
0
ν =
(1 − α
0
) ln [ (1 − α
0
)/α
1
] + α
0
ln [ α
0
/(1 − α
1
) ]
I( θ
0
, θ
1
|ξ)
∼
Íåñóùåñòâîâàíèå ãàðàíòèéíîãî êðèòåðèÿ ðàâíîñèëüíî ïðîòèâîïîëîæíîìó
íåðàâåíñòâó. Òàê êàê êðèòåðèé ÍåéìàíàÏèðñîíà íàèáîëåå ìîùíûé, òî ìè-
íèìàëüíîå n, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ãàðàíòèéíîãî êðèòåðèÿ,
äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü òàêæå íåðàâåíñòâó
     √
         n − 1(µ(θ1 ) − µ(θ0 )) < σ(θ0 ) Fθ−1
                                           0 ,n−1
                                                  (1 − α0 ) − σ(θ1 ) Fθ−1
                                                                       1 ,n−1
                                                                              (α1 ) .

Íî µ(θ1 ) − µ(θ0 ) > 0, è ïîýòîìó íåîáõîäèìûé îáúåì âûáîðêè n∗ îïðåäå-
ëÿåòñÿ íåðàâåíñòâàìè
                                                                    !2
                  σ(θ0 ) Fθ−1
                           0 ,n
                                                      −1
                                ∗ (1 − α0 ) − σ(θ1 ) Fθ ,n∗ (α1 )
                                                       1
                                                                         6 n∗ <
                                 µ(θ1 ) − µ(θ0 )
                                                                             !2
                       σ(θ0 ) Fθ−1  ∗
                                0 ,n −1
                                        (1 − α0 ) − σ(θ1 ) Fθ−1  ∗
                                                             1 ,n −1
                                                                     (α1 )
              1+                                                                  .
                                        µ(θ1 ) − µ(θ0 )
  Åñëè ∆ = θ1 − θ0 → 0, òî â ñèëó Ëåììû 12.1 ýòè íåðàâåíñòâà ïðèîáðå-
òàþò ñëåäóþùèé àñèìïòîòè÷åñêèé âèä (íàïîìíèì, Φ−1 (p) = −Φ−1 (1 − p) ):
                                                     √
               [ Φ−1 (1 − α0 ) + Φ−1 (1 − α1 ) + C1 / n∗ ) ]2
                                   2
                                                              6 n∗ <
                                ∆ i( θ0 | ξ )
                                                           √
                     [ Φ−1 (1 − α0 ) + Φ−1 (1 − α1 ) + C2 / n∗ ) ]2
                 1+                                                 ,                 (12.5)
                                      ∆2 i( θ0 | ξ )
ãäå Ci , i = 1, 2,  îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè θ1 è n.
  Òî, ÷òî n∗ ∼ ñ, êîãäà ∆ → 0, óñòàíàâëèâàåòñÿ òåïåðü äîñòàòî÷íî ïðî-
ñòî. Ïîäñòàâèì â (12.5) n∗ = ñ(1 + ε), ãäå ñ çàìåíÿåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ
(12.3). Òðèâèàëüíûå âûêëàäêè, ñâÿçàííûå ñ òàêîé ïîäñòàíîâêîé, ïðèâîäÿò
ê çàìåíå íåðàâåíñòâ (12.5) íà íåðàâåíñòâî C3 ∆ 6 ε < 1 + C4 ∆, ãäå C3
è C4  îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, î÷åâèäíî, âëå÷åò
óòâåðæäåíèå òåîðåìû.              2
  Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñðàâíåíèå àñèìïòîòèêè íåîáõîäèìîãî îáúåìà âû-
áîðêè n∗ ñî ñðåäíèìè çíà÷åíèÿìè îáúåìà íàáëþäåíèé â ïîñëåäîâàòåëü-
íîì êðèòåðèè îòíîøåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Äëÿ ïðîáëåìû ðàçëè÷åíèÿ ãèïîòåç
H00 : θ = θ0 è H10 : θ = θ1 , êîãäà ∆ → 0, ôîðìóëû äëÿ ñðåäíåãî îáúåìà
íàáëþäåíèé â ÏÊÎÂ ïðèîáðåòàþò âèä
                      (1 − α0 ) ln [ (1 − α0 )/α1 ] + α0 ln [ α0 /(1 − α1 ) ]
           E θ0 ν =                                                           ∼
                                           I( θ0 , θ1 | ξ)
                                              164

Страницы