Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

σ
2
(θ
1
)
2
F
n
z θ ∈ U( θ
0
).
H
0
0
: θ = θ
0
H
0
1
: θ = θ
1
,
α
0
.
L
n
H
0
: θ 6 θ
0
H
1
: θ > θ
0
H
0
0
: θ = θ
0
H
0
1
: θ = θ
1
,
L
n
> C
C n,
α
0
α
1
:
P
θ
0
( L
n
6 C ) = F
θ
0
,n
C − nµ(θ
0
)
σ(θ
0
)
√
n
> 1 −α
0
,
P
θ
1
( L
n
6 C ) = F
θ
1
,n
C − nµ(θ
1
)
σ(θ
1
)
√
n
6 α
1
.
(C, n),
C
n
(α
0
) 6 C 6 C(α
1
),
C
n
(α
0
) = nµ(θ
0
)+σ(θ
0
)F
−1
θ
0
,n
(1−α
0
)
√
n, C
n
(α
1
) = nµ(θ
1
)+σ(θ
1
)F
−1
θ
1
,n
(α
1
)
√
n.
C
n
(α
0
) 6 C
0
6 C(α
1
), (C
0
, n)
n
C
n
(α
0
) 6 C(α
1
),
√
n(µ(θ
1
) − µ(θ
0
)) > σ(θ
0
) F
−1
θ
0
,n
(1 − α
0
) − σ(θ
1
) F
−1
θ
1
,n
(α
1
) .
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà äëÿ σ 2 (θ1 ) âûâîäèòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
2
    Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î Ò å î ð å ì û 12.3. Âî èçáåæàíèå òðèâèàëüíûõ çà-
òðóäíåíèé áóäåì ïðåïîëàãàòü, ÷òî Fn  íåïðåðûâíàÿ, ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ
ôóíêöèÿ àðãóìåíòà z ïðè ëþáîì θ ∈ U ( θ0 ). Ýòî ïðåäïîëîæåíèå âëå÷åò
ñóùåñòâîâàíèå íåðàíäîìèçèðîâàííîãî êðèòåðèÿ îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
äëÿ ðàçëè÷åíèÿ ïðîñòûõ ãèïîòåç H00 : θ = θ0 è H10 : θ = θ1 , ðàçìåð
êîòîðîãî ðàâåí çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α0 . Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
äèñêðåòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè Ln íå âëèÿåò íà ñïðàâåäëèâîñòü
óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû.
    Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè, îáëàäàþùèå
ìîíîòîííûì îòíîøåíèåì ïðàâäîïîäîáèÿ, òî çàäà÷à ãàðàíòèéíîãî ðàçëè÷å-
íèÿ ñëîæíûõ ãèïîòåç H0 : θ 6 θ0 è H1 : θ > θ0 ñâîäèòñÿ ê ðàçëè÷åíèþ
ïðîñòûõ ãèïîòåç H00 : θ = θ0 è H10 : θ = θ1 , äëÿ êîòîðûõ êðèòåðèé îòíî-
øåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ñ êðèòè÷åñêîé îáëàñòüþ Ln > C ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå
ìîùíûì, è, ñëåäîâàòåëüíî, èìåííî íà íåì äîñòèãàåòñÿ ìèíèìàëüíûé, îáåñ-
ïå÷èâàþùèé ãàðàíòèéíîñòü îáúåì íàáëþäåíèé.
    Êðèòåðèé îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì äâóõ âåëè÷èí C è n, êîòîðûå äîëæíû
áûòü âûáðàíû òàê, ÷òîáû âåðîÿòíîñòè îøèáîê íå ïðåâîñõîäèëè çàäàííûõ
çíà÷åíèé α0 è α1 :
                                                        
                                           C − nµ(θ0 )
               Pθ0 ( Ln 6 C ) = Fθ0 ,n             √       > 1 − α0 ,
                                             σ(θ0 ) n
                                                         
                                             C − nµ(θ1 )
                  Pθ1 ( Ln 6 C ) = Fθ1 ,n            √      6 α1 .
                                              σ(θ1 ) n
Åñëè ïàðà (C, n), óäîâëåòâîðÿåò ýòèì óñëîâèÿì, òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè
ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Cn (α0 ) 6 C 6 C(α1 ), ãäå
                                        √                                            √
Cn (α0 ) = nµ(θ0 )+σ(θ0 )Fθ−1
                            0 ,n
                                 (1−α0 )  n, C n (α1 ) = nµ(θ 1 )+σ(θ 1 )F −1
                                                                          θ1 ,n (α1 )  n.

Áîëåå òîãî, åñëè Cn (α0 ) 6 C 0 6 C(α1 ), òî ïàðà ÷èñåë (C 0 , n) òàêæå ñîîò-
âåòñòâóåò ãàðàíòèéíîìó êðèòåðèþ.
    Åñëè ïðè çàäàííîì n ãàðàíòèéíûé êðèòåðèé ñóùåñòâóåò, òî ýòî îçíà÷àåò,
÷òî Cn (α0 ) 6 C(α1 ), òî åñòü
           √
               n(µ(θ1 ) − µ(θ0 )) > σ(θ0 ) Fθ−1
                                             0 ,n
                                                  (1 − α0 ) − σ(θ1 ) Fθ−1
                                                                       1 ,n
                                                                            (α1 ) .

                                              163

Страницы