Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L ϑ
δ = δ
τ
ν
X
(τ
ν
)
.
λ ∈ Λ,
ϑ.
λ
ϕ,
ϕ :
R
ϕ
(λ) = E L(ϑ, δ) =
Z
Θ
Z
D
L(θ, a)ψ(a |θ)g
λ
(θ)dχ(θ)dγ(a), λ ∈ Λ.
θ G
G
ϕ.
ϑ
R
λ
(d |X) = E{L(ϑ, d) |X} =
Z
Θ
L(θ, d)h
λ
(θ |X)dχ(θ), d ∈ D.
X,
δ,
ϕ
r( ·) θ, d λ,
L(θ, d)/r(θ), L(θ, d)/r(d), L(θ, d)/r(λ)
R(ϕ |θ), R
λ
(ϕ |d), R
ϕ
( λ ).
ôóíêöèè L (êàê ôóíêöèè ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ϑ ) îòíîñèòåëüíî ñèãìà-
àëãåáðû, ïîðîæäåííîé ðåøàþùåé ôóíêöèåé δ = δτν X(τν ) .
                                                        

  Ñëåäóåò îñîáî îòìåòèòü, ÷òî d-ðèñê çàâèñèò òàêæå îò ïàðàìåòðà λ ∈ Λ,
îïðåäåëÿþùåãî ðàñïðåäåëåíèå ϑ. Èìåííî íàëè÷èå ðåàëüíîé ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè èñõîäîâ ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîñòàâëÿåò èíôîðìàöèþ
îá èñòèííîì çíà÷åíèè λ â êîíêðåòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå è ïîçâî-
ëÿåò îïðåäåëèòü (õîòÿ áû ïðèáëèæåííî) àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå.
  Íàêîíåö, ââåäåì îïðåäåëåíèå ðèñêà ñòðàòåãèè ϕ, êîòîðîå îáû÷íî èñ-
ïîëüçóåòñÿ â òàê íàçûâàåìîé áàéåñîâñêîé ñòàòèñòèêå. Ýòî èíòåãðàëüíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà, óñðåäíÿþùàÿ ïîòåðè êàê ïî çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà, òàê è
ïî ïðèíÿòûì ðåøåíèÿì, íàçûâàåòñÿ àïðèîðíûì ðèñêîì ñòðàòåãèè ϕ :
                           Z Z
   Rϕ (λ) = E L(ϑ, δ) =        L(θ, a)ψ(a | θ)gλ (θ)dχ(θ)dγ(a), λ ∈ Λ.
                          Θ D
  Äàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñòðàòåãèè èñïîëüçóåòñÿ â ïðîáëåìàõ ìèíèìèçà-
öèè θ -ðèñêà, êîãäà àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå G òðàêòóåòñÿ êàê íåêîòîðàÿ
âåñîâàÿ ôóíêöèÿ è â îáùåì ñëó÷àå G íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëå-
íèåì âåðîÿòíîñòåé. Ñ òî÷êè æå çðåíèÿ d-ðèñêà àïðèîðíûé ðèñê ÿâëÿåòñÿ
íåêîòîðîé îãðóáëåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ñòðàòåãèè ϕ.
  Â ïðîáëåìàõ ìèíèìèçàöèè d-ðèñêà è àïðèîðíîãî ðèñêà îñíîâíóþ ðîëü
èãðàåò àïîñòåðèîðíûé ðèñê  óñëîâíîå ñðåäíåå ïîòåðü ïî ϑ îòíîñèòåëüíî
ñèãìà-àëãåáðû, ïîðîæäåííîé ñëó÷àéíîé âûáîðêîé:
                                       Z
     Rλ (d | X)   = E{L(ϑ, d) | X} =L(θ, d)hλ (θ | X)dχ(θ), d ∈ D.
                                 Θ
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî àïðèîðíûé ðèñê ðàâåí ñðåäíåìó çíà÷åíèþ àïîñòåðè-
îðíîãî ðèñêà ïî ìàðãèíàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ X, à d-ðèñê ðàâåí óñëîâ-
íîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ àïîñòåðèîðíîãî ðèñêà îòíîñèòåëüíî
ðåøàþùåé ôóíêöèè δ, ÷òî, ñîáñòâåííî, è ÿâëÿåòñÿ âàæíûì ïðè ïîñòðîåíèè
ñòðàòåãèé, ìèíèìèçèðóþùèõ âåëè÷èíó ðèñêà.
  Ñòðàòåãèÿ ϕ íàçûâàåòñÿ ãàðàíòèéíîé, åñëè åå ðèñê îãðàíè÷åí ñâåðõó
íåêîòîðîé ôóíêöèåé r( · ) îò, ñîîòâåòñòâåííî, θ, d èëè λ,  ðàçíûì îïðå-
äåëåíèÿì ðèñêà ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå ïîíÿòèÿ ãàðàíòèéíîñòè ñòàòèñòè÷å-
ñêîãî âûâîäà. Â ñâÿçè ñ ýòèì ââåäåì òðè âèäà íîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé
ïîòåðü L(θ, d)/r(θ),L(θ, d)/r(d), L(θ, d)/r(λ) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì
íîðìèðîâàííûå ðèñêè R(ϕ | θ), Rλ (ϕ | d), Rϕ ( λ ).

                                           16

Страницы