Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
ϕ
d
,
ϕ = (ϕ
ρ
, ϕ
d
) ϕ
ρ
=
(ϕ
s
, ϕ
c
) ϕ
s
ϕ
c
G
ε
G
ϕ
ρ
ϕ
d
ϕ,
ϕ
d
.
X, p(x |θ), x ∈ X, θ ∈ Θ.
µ P g(θ), θ ∈ Θ,
G χ.
R(ϕ)
δ = δ(X),
E L(ϑ, δ(X))
ϑ X p (x |θ)g(θ) µ × χ.
R(ϕ) =
Z
Θ
Z
X
Z
D
L(θ, a) ϕ(da |x)
p (x |θ) d µ(x)
g(θ) d χ(θ).
                §   4.        Áàéåñîâñêèå ðåøåíèÿ

  4.1.   Áàéåñîâñêîå ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ.                           Ìû ïðèñòóïàåì
ê ðåøåíèþ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëà ïðèíÿòèÿ ϕd , ìèíèìèçèðóþùå-
ãî ðèñê ïðîöåäóðû ϕ = (ϕρ , ϕd ) ïðè ôèêñèðîâàííîì óïðàâëåíèè ϕρ =
(ϕs , ϕc ) ýêñïåðèìåíòîì: ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðàâèëà îñòàíîâêè ϕs è âû-
áîðà ϕc çàäàíû. Íà÷íåì ñ ïðîáëåìû ìèíèìèçàöèè àïðèîðíîãî ðèñêà, êîãäà
àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå G îïðåäåëåíî ïîëíîñòüþ.
  Ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì àïðèîðíî-
ãî ðèñêà, íàçûâàåòñÿ áàéåñîâñêèì, à ñîîòâåòñòâóþùèé åìó àïðèîðíûé ðèñê
 áàéåñîâñêèì ðèñêîì. Åñòåñòâåííî, ìîãóò âîçíèêàòü ñèòóàöèè, êîãäà íèæ-
íÿÿ ãðàíü àïðèîðíîãî ðèñêà íå äîñòèæèìà.  òàêîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ
òàê íàçûâàåìîå ε -áàéåñîâñêîå ïðàâèëî, äîñòàâëÿþùåå ìèíèìóì àïðèîðíî-
ìó ðèñêó ïðèáëèæåííî, ñ çàäàííîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè.
  Â äàëüíåéøåì áóäåò ïîêàçàíî, êàê íà ïðàêòèêå ïîñòðîèòü àíàëîã áàéå-
ñîâñêîãî ïðàâèëà, îöåíèâàÿ íåèçâåñòíîå àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïî èìå-
þùåìóñÿ àðõèâó äàííûõ, ñîñòîÿùåìó èç ñîâîêóïíîñòè âûáîðîê, â êîòîðûõ
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ïðåäñòàâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåàëèçàöèé íåçà-
âèñèìûõ è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíííûõ ïî àïðèîðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ G
ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ.
  Ïðåäïîëàãàÿ ϕρ çàäàííûì, ìû ìîæåì óïðîñòèòü îáîçíà÷åíèÿ. Âìåñòî ϕd
áóäåì ïèñàòü ïðîñòî ϕ, ïîñêîëüêó çàäàíèå ïðîöåäóðû ñâîäèòñÿ ê îïðåäå-
ëåíèþ òîëüêî ïðàâèëà ϕd . Ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ áóêâîé
X, åå ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè çàïèñûâàòüñÿ êàê p(x | θ), x ∈ X, θ ∈ Θ. Ïóñòü
µ  äîìèíèðóþùàÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò P ìåðà, à g(θ), θ ∈ Θ, 
ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ G ïî ìåðå χ.
  Àïðèîðíûé ðèñê R(ϕ) ïðîöåäóðû, êîòîðóþ ìîæíî ñ÷èòàòü çàäàííîé,
åñëè çàäàíà ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ δ = δ(X), îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòåìàòè÷å-
ñêîå îæèäàíèå E L(ϑ, δ(X)) îò ôóíêöèè ïîòåðü ïî ñîâìåñòíîìó ðàñïðå-
äåëåíèþ ϑ è X ñ ïëîòíîñòüþ p (x | θ)g(θ) ïî ìåðå µ × χ. Èíòåãðàëüíîå
ïðåäñòàâëåíèå àïðèîðíîãî ðèñêà èìååò âèä
            Z   Z       Z                                             
   R(ϕ) =                     L(θ, a) ϕ(da | x)       p (x | θ) d µ(x)       g(θ) d χ(θ).
            Θ       X     D


                                         47

Страницы