Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ,
D.
x
(n)
,
ϕ
g
( ·|X
(n)
)
n = 1, 2, . . .
ϕ
s
ϕ
c
.
T (X),
X
T.
X
f(x |θ),
X θ
ϑ G.
θ H
0
: θ ∈ Θ
0
H
1
:
θ ∈ Θ
1
= Θ
c
, d
0
d
1
,
L(θ, d
i
) =
1, θ ∈ Θ
1−i
,
0, θ ∈ Θ
i
, i = 0, 1,
ϕ
d
0
: ϕ(d
0
|X) = 1−ϕ(d
1
|X).
  Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíèå áàéåñîâñêîãî ðåøåíèÿ ñâîäèòñÿ ê îòûñêà-
íèþ ïðàâèëà ðåøåíèÿ ϕ, äîñòàâëÿþùåãî ìèíèìóì àïîñòåðèîðíîìó ðèñêó.
 ñëó÷àå íåðàíäîìèçèðîâàííûõ ïðàâèë äàííàÿ ïðîáëåìà ðåøàåòñÿ îñîáåí-
íî ïðîñòî, èáî ñîñòîèò â îòûñêàíèè ìèíèìóìà ôóíêöèè íà ïðîñòðàíñòâå
ðåøåíèé D.
  Ñëåäóåò îòìåòèòü îäíî èç çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ áàéåñîâñêèõ ïðàâèë
 îíè íå çàâèñÿò îò óïðàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèì ýêñïåðèìåíòîì. Ýòî îáú-
ÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ìíîæèòåëè â ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âûáîðêè,
êîòîðûå ñîäåðæàò êîìïîíåíòû ïðàâèë óïðàâëåíèÿ, çàâèñÿò òîëüêî îò x(n) ,
âõîäÿò â ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è âûíî-
ñÿòñÿ çà çíàê èíòåãðàëà, òî åñòü èõ ìîæíî ïðîñòî ñîêðàòèòü. Òàêèì îá-
ðàçîì, êîìïîíåíòû ϕg ( · | X (n) ) áàéåñîâñêîãî ïðàâèëà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ
îïðåäåëÿþòñÿ èç àïîñòåðèîðíîãî ðèñêà äëÿ êàæäîãî øàãà n = 1, 2, . . . ñòà-
òèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà è íå çàâèñÿò îò ϕs è ϕc .
  Îáðàùàÿñü ê òåîðåìå ôàêòîðèçàöèè, ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå ñóùå-
ñòâîâàíèÿ äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè T (X), àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå
(ñëåäîâàòåëüíî, è áàéåñîâñêîå ðåøåíèå) çàâèñèò îò X òîëüêî ÷åðåç çíà÷å-
íèå T.
  Ïðèìåð 4.1  . Áàéåñîâñêèé êðèòåðèé ðàçëè÷åíèÿ äâóõ ãèïîòåç. Ïóñòü X
 ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè f (x | θ), è
ïðè íàáëþäåíèè X ïàðàìåòð θ ÿâëÿåòñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà
ϑ ñ àïðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì G. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â
âûáîðå îäíîé èç äâóõ ãèïîòåç, êàñàþùèõñÿ çíà÷åíèÿ θ : H0 : θ ∈ Θ0 è H1 :
θ ∈ Θ1 = Θc , òàê ÷òî ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê d0 è
d1 , ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîâåðÿåìûì ãèïîòåçàì. Â äàííîé ïðîáëåìå ôóíêöèÿ
ïîòåðü îáû÷íî âûáèðàåòñÿ â âèäå
                            
                             1, åñëè θ ∈ Θ1−i ,
                L(θ, di ) =
                             0, åñëè θ ∈ Θi ,   i = 0, 1,
è íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ïîòåðü òèïà 1 0.
  Ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ϕ îïðåäåëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ ïðèíÿòèÿ ðå-
øåíèÿ d0 :   ϕ(d0 | X) = 1−ϕ(d1 | X). Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ðåçóëü-

                                    49

Страницы