Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x X
Z
D
L(θ, a)ϕ(da |X) = L(θ, d
0
)ϕ(d
0
|X) + L(θ, d
1
)ϕ(d
1
|X) =
=
ϕ ( d
0
|X ), θ ∈ Θ
1
,
1 − ϕ ( d
0
|X ), θ ∈ Θ
0
,
<(ϕ |X) =
Z
Θ
Z
D
L(θ, a) ϕ(da |X)
h (θ |X) d χ(θ) =
ϕ(d
0
|X)P(ϑ ∈ Θ
1
|X) + [ 1 − ϕ(d
0
|X) ]P(ϑ ∈ Θ
0
|X).
ϕ(d
0
|X),
ϕ(d
0
|X) = 1,
P(ϑ ∈ Θ
0
|X) > P(ϑ ∈ Θ
1
|X), ϕ(d
0
|X) = 0, P(ϑ ∈ Θ
0
|X) <
P(ϑ ∈ Θ
1
|X).
ϕ
G
R(ϕ
G
) = min {G( Θ
0
), G( Θ
1
) }.
m > 2
X
f(x |θ), x ∈ X, θ ∈ Θ ⊆ R,
θ L(θ, d) = (θ − d)
2
.
θ X
ϑ
G. D
òàòå x íàáëþäåíèÿ X ñðåäíèå ïîòåðè ðàâíû
      Z
               L(θ, a)ϕ(da | X) = L(θ, d0 )ϕ(d0 | X) + L(θ, d1 )ϕ(d1 | X) =
           D
                            
                                ϕ ( d0 | X ),    åñëè θ ∈ Θ1 ,
                        =
                             1 − ϕ ( d0 | X ), åñëè θ ∈ Θ0 ,
òàê ÷òî àïîñòåðèîðíûé ðèñê
                            Z Z                          
               <(ϕ | X) =             L(θ, a) ϕ(da | X)       h (θ | X) d χ(θ) =
                             Θ    D
               ϕ(d0 | X)P(ϑ ∈ Θ1 | X) + [ 1 − ϕ(d0 | X) ]P(ϑ ∈ Θ0 | X).
  Àïîñòåðèîðíûé ðèñê åñòü ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò ϕ(d0 | X), è åãî ìè-
íèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè ϕ(d0 | X) = 1, åñëè àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü
P(ϑ ∈ Θ0 | X) > P(ϑ ∈ Θ1 | X), è ïðè ϕ(d0 | X) = 0, êîãäà P(ϑ ∈ Θ0 | X) <
P(ϑ ∈ Θ1 | X).  ñëó÷àå ðàâåíñòâà àïîñòåðèîðíûõ âåðîÿòíîñòåé ðàçëè÷à-
åìûõ ãèïîòåç ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì îá-
ðàçîì  ìîæíî ïðèíèìàòü ëþáóþ èç ãèïîòåç ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èëè
èñïîëüçîâàòü íåêîòîðîå ðàíäîìèçèðîâàííîå ïðàâèëî.
  Òàêèì îáðàçîì, áàéåñîâñêîå ïðàâèëî ϕG ïðèíèìàåò ãèïîòåçó, èìåþùóþ
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå àïîñòåðèîðíîé âåðîÿòíîñòè åå ñïðàâåäëèâîñòè. Áàé-
åñîâñêèé ðèñê ðàâåí ìèíèìóìó èç àïðèîðíûõ âåðîÿòíîñòåé ðàçëè÷àåìûõ
ãèïîòåç:
                            R(ϕG ) = min { G( Θ0 ), G( Θ1 ) }.
  Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ðåçóëüòàòû ýòîãî ïðèìåðà íåïîñðåäñòâåííî ïåðå-
íîñÿòñÿ íà ñëó÷àé ðàçëè÷åíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà m > 2 ãèïîòåç: áàé-
åñîâñêîå ïðàâèëî ïðèíèìàåò ãèïîòåçó, êîòîðàÿ èìååò íàèáîëüøóþ àïîñòå-
ðèîðíóþ âåðîÿòíîñòü åå ñïðàâåäëèâîñòè.
  Ïðèìåð 4.2       . Îöåíêà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè
ïîòåðü. Ïî ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè X èç ðàñïðåäå-
ëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ f (x | θ), x ∈ X, θ ∈ Θ ⊆ R, îöåíèâàåòñÿ ñêàëÿð-
íûé ïàðàìåòð θ ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü L(θ, d) = (θ − d)2 .
Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, çíà÷åíèå θ ïðè íàáëþäåíèè X åñòü ðåà-
ëèçàöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϑ ñ èçâåñòíûì àïðèîðíûì ðàñïðåäåëåíèåì
G.  ýòîé ñòàòèñòè÷åñêîé ïðîáëåìå ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé D ñîâïàäàåò

                                             50

Страницы