Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ x,
X
p
G
(x) =
Z
Θ
p (x |θ) g(t) d χ(t)
ϑ
h(θ |X) =
p (X |θ) g( θ )
p
G
(X)
,
R(ϕ) =
Z
X
Z
Θ
Z
D
L(θ, a) ϕ(da |x)
h (θ |x) d χ(θ)
p
G
(x) d µ(x).
<(ϕ |X) =
Z
Θ
Z
D
L(θ, a) ϕ(da |X)
h (θ |X) d χ(θ)
ϕ,
ϕ
G
<(ϕ
G
|X) =
ϕ
<(ϕ |X)
ϕ
G
R(ϕ).
R(ϕ) =
Z
X
<(ϕ |x) p
G
(x) d µ(x).
ϕ
R(ϕ) >
Z
X
ϕ
<(ϕ |x) p
G
(x) d µ(x) =
Z
X
<(ϕ
G
|x) p
G
(x) d µ(x) = R(ϕ
G
) >
ϕ
R(ϕ). 2
  Ïåðåñòàâëÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ ïî θ è x, çàïèøåì àïðèîðíûé
ðèñê ñ ïîìîùüþ ìàðãèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêè X ñ
ïëîòíîñòüþ                                  Z
                            p G (x) =            p (x | θ) g(t) d χ(t)
                                             Θ
è àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ϑ ñ ïëîòíîñòüþ
                                                  p (X | θ) g( θ )
                                h(θ | X) =                         ,
                                                     p G (X)
òî åñòü ïðåäñòàâèì åãî â âèäå
            Z       Z Z                                                         
   R(ϕ) =                       L(θ, a) ϕ(da | x)               h (θ | x) d χ(θ)       p G (x) d µ(x).
                X      Θ    D
  Âíóòðåííèé èíòåãðàë â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè àïðèîðíîãî ðèñêà
                            Z Z                                     
            <(ϕ | X) =                  L(θ, a) ϕ(da | X)                h (θ | X) d χ(θ)
                             Θ      D
íàçûâàåòñÿ àïîñòåðèîðíûì ðèñêîì ïðîöåäóðû (ïðàâèëà) ϕ, è ýòîò ðèñê
èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â ïîñòðîåíèè áàéåñîâñêèõ ïðàâèë ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèÿ. Ïóñòü ϕG  ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, äîñòàâëÿþùåå íàèìåíüøåå
çíà÷åíèå àïîñòåðèîðíîìó ðèñêó, òî åñòü

                                 <(ϕG | X) = inf <(ϕ | X)
                                                        ϕ

ïðè åñòåñòâåííîì ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íèæíÿÿ ãðàíü â ïðàâîé ÷àñòè äîñòè-
ãàåòñÿ íà íåêîòîðîì ïðàâèëå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ. Ïðåäïîëàãàÿ êîíå÷íîñòü
âñåõ èíòåãðàëîâ â çàïèñè àïðèîðíîãî ðèñêà, óáåäèìñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà
  Òåîðåìà 4.1. Ïðàâèëî             ϕG    ÿâëÿåòñÿ áàéåñîâñêèì, òî åñòü äîñòàâëÿåò

íàèìåíüøåå çíà÷åíèå àïðèîðíîìó ðèñêó                        R(ϕ).
  Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Àïðèîðíûé ðèñê åñòü ñðåäíåå çíà÷åíèå àïîñòåðè-
îðíîãî ðèñêà:                       Z
                           R(ϕ) =           <(ϕ | x) p G (x) d µ(x).
                                        X
  Ñëåäóþùàÿ î÷åâèäíàÿ öåïî÷êà íåðàâåíñòâ äîêàçûâàåò äàííóþ òåîðåìó:
                                   Z
                      inf R(ϕ) >            inf <(ϕ | x) p G (x) d µ(x) =
                      ϕ              X      ϕ
            Z
                    <(ϕG | x) p G (x) d µ(x) = R(ϕG ) > inf R(ϕ).                          2
             X                                                           ϕ

                                                   48

Страницы