Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Θ;
ϕ(D |X), D ∈ B,
X σ B,
R.
x X
Z
R
(θ − a)
2
ϕ(da |X) = E{(θ − δ(X))
2
|X},
δ = δ(X) θ
d (θ − d)
2
E{(θ − δ(X))
2
|X} >
θ −
Z
R
a ϕ(da |X)
2
,
ϕ
ˆ
θ(X) =
Z
R
a ϕ(da |X),
δ.
ˆ
θ
G
ˆ
θ
G
d
Z
R
(t − d)
2
h (t |X) dt.
ˆ
θ
G
(X) =
Z
R
t h (t |X) dt.
ˆ
θ
G
=
ˆ
θ
G
(X)
R(
ˆ
θ
G
) =
Z
Θ
Z
R
(θ −
ˆ
θ
G
(x))
2
p (x |θ) d µ(x) d G(θ).
( F, G, ),
ñ ïàðàìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì Θ; ëþáîå ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ
ϕ(D | X), D ∈ B, ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòüþ ñ âûáîðî÷íîãî ïðî-
ñòðàíñòâà X íà áîðåëåâñêóþ σ -àëãåáðó B, ïîðîæäåííóþ èíòåðâàëàìè íà
ïðÿìîé R.
  Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ðåçóëüòàòå x íàáëþäåíèÿ X ñðåäíèå ïîòå-
ðè ðàâíû       Z
                    (θ − a)2 ϕ(da | X) = E{ (θ − δ(X))2 | X},
                R
ãäå δ = δ(X)  ðàíäîìèçèðîâàííàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà θ (ðåøàþùàÿ ôóíê-
öèÿ). Â ñèëó íåðàâåíñòâà Éåíñåíà äëÿ âûïóêëîé ïî d ôóíêöèè (θ − d)2
äëÿ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                                                      Z                  2
                               2
             E{ (θ − δ(X)) | X} >                θ −        a ϕ(da | X)        ,
                                                        R

òàê ÷òî ëþáîìó ðàíäîìèçèðîâàííîìó ïðàâèëó ϕ ñîîòâåòñòâóåò íåðàäîìè-
çèðîâàííàÿ îöåíêà                       Z
                             θ̂(X) =            a ϕ(da | X),
                                          R
ðèñê êîòîðîé ìåíüøå (èëè ðàâåí) ðàíäîìèçèðîâàííîé îöåíêè δ.
  Èòàê, ïðè ïîñòðîåíèè áàéåñîâñêîé îöåíêè θ̂G ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàñ-
ñìîòðåíèåì òîëüêî íåðàíäîìèçèðîâàííûõ îöåíîê, îïðåäåëÿÿ θ̂G êàê òî÷êó
äîñòèæåíèÿ ïî àðãóìåíòó d ìèíèìóìà àïîñòåðèîðíîãî ðèñêà
                             Z
                                   (t − d)2 h (t | X) dt.
                               R

Èñïîëüçóÿ ñíîâà íåðàâåíñòâî Éåíñåíà, ïîëó÷àåì, ÷òî ýòîò èíòåãðàë äîñòè-
ãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà â òî÷êå
                                         Z
                          θ̂G (X) =             t h (t | X) dt.
                                            R

  Òàêèì îáðàçîì, áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ̂G = θ̂G (X) ðàâíà àïîñòåðèîðíî-
ìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ, à áàéåñîâñêèé ðèñê  àïðèîðíîé äèñïåðñèè ýòîé
îöåíêè:                  Z Z
            R( θ̂G ) =           (θ − θ̂G (x))2 p (x | θ) d µ(x) d G(θ).
                         Θ   R
   ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ äîâîëüíî ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñëåäóþùèå
âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè ( F, G, ), êîòîðûå ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçî-

                                             51

Страницы