Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1
p
2 π (σ
2
/n + τ
2
)
exp
−
(x − µ)
2
2 (σ
2
/n + τ
2
)
.
( 0, σ
2
/n ) ( µ, τ
2
)
(θ − M)
2
/2S
2
:
h( θ |X ) =
p (X |θ) g( θ )
p
G
(X)
=
p
σ
2
/n + τ
2
√
2 π σ τ
exp
−
n(X − θ)
2
2 σ
2
−
(θ − µ)
2
2 τ
2
+
(X − µ)
2
2 (σ
2
/n + τ
2
)
=
1
√
2π S
exp
−
(θ − M)
2
2S
2
,
M =
nX σ
−2
+ µ τ
−2
nσ
−2
+ τ
−2
S =
1
nσ
−2
+ τ
−2
.
ϑ
M S, M
X µ,
S
Θ
0
= (−∞, θ
0
], Θ
1
=
(θ
0
, +∞).
P(θ 6 θ
0
|X) = Φ
θ
0
− M
S
P(θ, > θ
0
|X) = 1 − Φ
θ
0
− M
S
.
H
0
: θ 6 θ
0
,
Φ
θ
0
− M
S
6
1
2
,
M 6 θ
0
,
                                                            (x − µ)2
                                                                            
                            1
                                      exp              −    .
                                                         2 (σ 2 /n + τ 2 )
                  p
                  2 π (σ 2 /n + τ 2 )
Çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàë âû÷èñëÿòü íå íàäî, ïîñêîëüêó îí ïðåäñòàâëÿåò ñâåð-
òêó íîðìàëüíîãî ( 0, σ 2 /n ) è íîðìàëüíîãî ( µ, τ 2 ) ðàñïðåäåëåíèé, òî åñòü
ôóíêöèþ ïëîòíîñòè ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþ-
ùèõ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâà òåîðåìà ñëîæå-
íèÿ.
  Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàõîäèòñÿ ïðèâåäå-
íèåì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, ñòîÿùåé ïîä ýêñïîíåíòîé (ñì. íèæå) ê âèäó
(θ − M)2 /2S2 :
                                          p (X | θ) g( θ )
                          h( θ | X ) =                     =
                                             p G (X)
      p
        σ 2 /n + τ 2        n(X − θ)2   (θ − µ)2        (X − µ)2
                                                                      
        √            exp −            −           +                      =
          2πστ                 2 σ2       2 τ2       2 (σ 2 /n + τ 2 )
                                       (θ − M)2
                                                
                             1
                          √      exp −             ,
                            2π S          2S2
ãäå àïîñòåðèîðíûå ñðåäíåå è äèñïåðñèÿ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
                 nX σ −2 + µ τ −2               1
             M=                   è    S =              .
                   nσ −2 + τ −2            nσ −2 + τ −2
  Òàêèì îáðàçîì, àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ åñòü íîðìàëüíîå ðàñ-
ïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè M è S, ïðè÷åì àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå M åñòü
âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî X è àïðèîðíîãî ñðåäíåãî µ,
à àïîñòåðèîðíàÿ äèñïåðñèÿ S íå çàâèñèò îò âûáîðî÷íûõ äàííûõ.
  Îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðó 4.1 è îïðåäåëèì ïàðàìåòðè÷åñêèå ïîäìíîæåñòâà,
ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷àåìûì ãèïîòåçàì, êàê Θ0 = (−∞, θ0 ],                           Θ1 =
(θ0 , +∞).  òàêîì ñëó÷àå àïîñòåðèîðíûå âåðîÿòíîñòè ñïðàâåäëèâîñòè ãè-
ïîòåç ðàâíû
                                                                  
                    θ0 − M                                    θ0 − M
P(θ 6 θ0 | X) = Φ                è   P(θ, > θ0 | X) = 1 − Φ            .
                        S                                                        S
Áàéåñîâñêîå ïðàâèëî ïðèíèìàåò ãèïîòåçó H0 : θ 6 θ0 , åñëè
                                                  
                                        θ0 − M            1
                                Φ                        6 ,
                                          S               2
òî åñòü êîãäà àïîñòåðèîðíîå ñðåäíåå M 6 θ0 , è ÷òî ìîæåò áûòü ñïðàâåä-
ëèâåå, ÷åì ýòî ïðàâèëî!

                                              53

Страницы