Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
θ
G
(
X) = M =
nX σ
−2
+ µ τ
−2
nσ
−2
+ τ
−2
.
θ.
n
T =
P
n
1
X
k
,
P
p ( t |θ) = C
t
n
θ
t
(1 − θ)
n−t
, t = 0, 1, . . . , n, θ ∈ ( 0, 1 ).
θ
ϑ,
g(θ) =
1
B(α, β)
θ
α−1
(1 − θ)
β−1
, θ ∈ ( 0, 1 ), α > 0, β > 0.
T,
ϑ
α+T n+β−T, θ
ˆ
θ
G
=
α + T
n + α + β
.
f(x |θ) =
θ
x
e
−θ
x !
, x = 0, 1, . . . , θ ∈ Θ = R
+
.
  ×òî æå êàñàåòñÿ ïðèìåðà 4.2, ãäå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîáëåìà îöåíêè ñêà-
ëÿðíîãî ïàðàìåòðà ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü, òî çäåñü áàéåñîâ-
ñêîå ïðàâèëî îïðåäåëÿåòñÿ ñòàòèñòèêîé (îöåíêîé), ðàâíîé àïîñòåðèîðíîìó
ñðåäíåìó. Ñëåäîâàòåëüíî,
                                 nX σ −2 + µ τ −2
                   θ̂G (X) = M =                  .
                                  nσ −2 + τ −2
  Ìîäåëü B-B. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âûáîð îñóùåñòâëÿåòñÿ â ðàìêàõ ñõå-
ìû èñïûòàíèé Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåøíîãî èñïûòàíèÿ, ðàâíîé θ.
Ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå èñïûòàíèé n äîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêîé ÿâëÿ-
        Pn
åòñÿ T = 1 Xk , ðåàëèçóþùàÿ îáùåå êîëè÷åñòâî óñïåõîâ â ïðîâåäåííûõ
èñïûòàíèÿõ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàòèñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò P ðåäóöèðóåòñÿ
ê ñåìåéñòâó áèíîìèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ ôóíêöèÿìè ïëîòíîñòè ïî ñ÷è-
òàþùåé ìåðå

          p ( t | θ) = C tn θ t (1 − θ) n−t ,        t = 0, 1, . . . , n, θ ∈ ( 0, 1 ).
   òîì ñëó÷àå, êîãäà âåðîÿòíîñòü óñïåõà θ â íàáëþäàåìûõ èñõîäàõ ñõå-
ìû Áåðíóëëè ÿâëÿåòñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϑ, íà ïðàêòèêå
îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ àïðèîðíîå áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè
                    1
       g(θ) =            θ α−1 (1 − θ) β−1 ,           θ ∈ ( 0, 1 ), α > 0, β > 0.
                 B(α, β)
Òàêîé âûáîð àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äèêòóåòñÿ, â îñíîâíîì, íå ñòîëüêî
ïðèðîäîé èññëåäóåìîãî îáúåêòà, ñêîëüêî èñêëþ÷èòåëüíûì ðàçíîîáðàçèåì
ôîðì ôóíêöèè ïëîòíîñòè áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ. Îíà ìîæåò áûòü ñèììåò-
ðè÷íîé, ñêîøåííîé âëåâî, ñêîøåííîé âïðàâî, U-îáðàçíîé, èìåòü îòðèöà-
òåëüíûé èëè ïîëîæèòåëüíûé ýêñöåññ.
  Íå âû÷èñëÿÿ ìàðãèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè T, äîêàæèòå, ÷òî
àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ åñòü ñíîâà áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåò-
ðàìè α+T è n+β −T, à áàéåñîâñêàÿ îöåíêà çíà÷åíèÿ θ ïðè êâàäðàòè÷íûõ
ïîòåðÿõ
                                  α+T
                                   θ̂G = .
                                n+α+β
  Ìîäåëü P-G. Â ýòîé ìîäåëè âûáîð ïðîèñõîäèò èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàñ-
ñîíà ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ïî ñ÷èòàþùåé ìåðå
                           θ x e−θ
               f (x | θ) =         ,     x = 0, 1, . . . ,       θ ∈ Θ = R+ .
                             x!
                                                54

Страницы