Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

T =
P
n
1
X
k
,
n θ .
p ( t |θ ) =
n
t
θ
t
e
−n θ
t !
, t = 0, 1, . . . , θ ∈ Θ = R
+
. (4.1)
θ θ
ϑ,
g(θ; λ, a) =
a
λ
Γ(λ)
θ
λ−1
e
−a θ
, θ > 0, λ > 0, a > 0.
T,
ϑ
λ + T n + a, θ
ˆ
θ
G
=
λ + T
n + a
.
ξ f(x |θ)
θ.
N
θ
k
k
x
k,1
, ..., x
k,n
ξ,
k = 1, . . . , N.
x
[N]
=
x
11
. . . x
1n
· . . . ·
x
N1
. . . x
Nn
x
k
= (x
k1
, . . . , x
kn
) x
[N]
k (= 1, . . . , N)
X
k
= (X
k1
, . . . , X
kn
),
  Äëÿ ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàñ-
                                                   Pn
ñîíà ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà T =              1   Xk , èìåþùàÿ òàêæå ðàñ-
ïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì n θ . Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàòèñòè÷åñêèé
ýêñïåðèìåíò îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè ïî ñ÷èòàþùåé ìåðå
                   nt θ t e−n θ
          p(t|θ) =              , t = 0, 1, . . . , θ ∈ Θ = R+ . (4.1)
                        t!
  Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èññëåäîâàíèå ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû ïàðàìåòðà èíòåí-
ñèâíîñòè θ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ïîêàçàëî, ÷òî çíà÷åíèå θ åñòü ðåàëè-
çàöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϑ, èìåþùåé ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé
ïëîòíîñòè
                          aλ
            g(θ; λ, a) =      θ λ−1 e− a θ ,   θ > 0, λ > 0, a > 0.
                         Γ(λ)
  Íå âû÷èñëÿÿ ìàðãèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè T, äîêàæèòå, ÷òî
àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ åñòü ñíîâà ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåò-
ðàìè λ + T è n + a, à áàéåñîâñêàÿ îöåíêà çíà÷åíèÿ θ ïðè êâàäðàòè÷íûõ
ïîòåðÿõ
                                         λ+T
                                 θ̂G =       .
                                         n+a
  4.2.    Ýìïèðè÷åñêèé áàéåñîâñêèé ïîäõîä ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèÿ.
Ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå áàéåñîâñêîãî ïîäõîäà ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèÿ ñâÿ-
çàíî, êàê ïðàâèëî, ñî ñòàòèñòè÷åñêèì àíàëèçîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èäåí-
òè÷íûõ îáúåêòîâ, ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäàåìîé õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ
(ñëó÷àéíîãî ýëåìåíòà ξ ñ ôóíêöèåé ïëîòíîñòè f (x | θ) ) èìåþò îäíó è òó
æå ôîðìó è îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà θ. Ýòè íåèçâåñò-
íûå ñòàòèñòèêó çíà÷åíèÿ è ïðåäñòàâëÿþò ïðåäìåò ñòàòèñòè÷åñêîãî ðåøå-
íèÿ. Ïóñòü áûëî îáñëåäîâàíî N îáúåêòîâ, è ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ îòíîñè-
òåëüíî çíà÷åíèÿ θk ïàðàìåòðà k -ãî îáúåêòà ïðîèçâîäèëîñü ïî âûáîðî÷íûì
äàííûì xk,1 , ..., xk,n  ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèé íåçàâèñèìûõ êîïèé ξ, ãäå
k = 1, . . . , N. Òàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòèê ðàñïîëàãàåò àðõèâîì äàííûõ
                                                   
                                      x11 . . . x1n
                            x[N ] =  · . . . · 
                                                   

                                     x N 1 . . . xN n
  Ñòðîêà xk = (xk1 , . . . , xkn ) àðõèâà x[N ] ñ íîìåðîì k (= 1, . . . , N ) ñî-
ñòàâëÿåò ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Xk = (Xk1 , . . . , Xkn ),

                                         55

Страницы