Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
[N]
= (X
1
, S
2
1
), . . . , (X
N
, S
2
N
)
X S
2
.
S
2
k
=
1
n − 1
n
X
i=1
( X
ki
− X
k
)
2
, k = 1, . . . , N,
σ
2
σ
2
n n = 2
X S
2
X (θ, σ
2
/n),
(n −1)S
2
/σ
2
(n −1)
X
µ θ + σ
2
/n; S
2
x
[N]
L
µ, τ
2
, σ
2
|x
[N]
=
1
( 2 π (τ
2
+ σ
2
/n) )
N / 2
exp
(
−
1
2 (τ
2
+ σ
2
/n)
N
X
k=1
(X
k
− µ)
2
)
×
(n − 1)
(n−1)/2
2
(n−1)/2
σ
n−1
Γ ( (n − 1)/2 )
N
Y
k=1
S
n−3
k
exp
(
−
n − 1
σ
2
N
X
k=1
S
2
k
)
.
( ˆµ, ˆτ
2
, ˆσ
2
)
ˆµ = X =
1
N
n
X
k=1
X
k
, ˆτ
2
=
1
N
n
X
k=1
(X
k
− X)
2
− S
2
k
, ˆσ
2
=
1
N
n
X
k=1
S
2
k
.
ê âåêòîðó X[N ] = (X 1 , S 21 ), . . . , (X N , S 2N ) c äâóìåðíûìè êîìïîíåíòàìè,
ñîñòîÿùèìè èç âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî X è âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè S 2 . Îò-
ìåòèì îäíó íåìàëîâàæíóþ äåòàëü ïðè ðåäóêöèè àðõèâà ê äîñòàòî÷íûì
ñòàòèñòèêàì, êîòîðàÿ îáñóæäàëàñü òàêæå â îáùåì êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîé
ñòàòèñòèêè. Ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü íåñìåùåííûå îöåíêè
                                 n
                    2 1 X
                S = k         ( Xki − X k ) 2 ,   k = 1, . . . , N,
                    n − 1 i=1

ïàðàìåòðà σ 2 ïî êàæäîé âûáîðêå àðõèâà, èáî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, îáùàÿ
îöåíêà σ 2 áóäåò íåñîñòîÿòåëüíîé è ïðè ìàëûõ îáúåìàõ n (íàïèìåð, n = 2 )
êàæäîé âûáîðêè áóäåò âûäàâàòü çàíèæåííîå çíà÷åíèå äèñïåðñèè.
  Êàê óòâåðæäàåò èçâåñòíàÿ òåîðåìà Ôèøåðà, ñòàòèñòèêè X è S 2 íåçà-
âèñèìû, X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè (θ, σ 2 /n), à
(n − 1)S 2 /σ 2 ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó õè-êâàäðàò ñ (n − 1) é ñòåïåíüþ ñâî-
áîäû. Â ïðèìåðå 4.1 áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ìàðãèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå X
òàêæå íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè µ è θ + σ 2 /n; ðàñïðåäåëåíèå S 2 îñòàåòñÿ
ïðåæíèì. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ àðõèâà x [N ] ðàâíà
                                                     
                                       2    2    [N ]
                                L µ, τ , σ | x          =
                                     (                      N
                                                                           )
                   1                              1        X
               2     2      N/2
                                 exp −         2      2
                                                               (X k − µ) 2 ×
       ( 2 π (τ + σ /n) )                  2 (τ + σ /n)
                                                           k=1
                                         N
                                                        (           N
                                                                            )
                        (n−1)/2
               (n − 1)                 Y
                                               n−3          n−1    X
         (n−1)/2   n−1
                                             S k   exp    −     2
                                                                       S 2k   .
       2         σ     Γ ( (n − 1)/2 ) k=1
                                                              σ
                                                                k=1
  Òî÷êà ( µ̂, τ̂ , σ̂ ) (îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ òðåõìåðíîãî
                2       2

ïàðàìåòðà) äîñòèæåíèÿ ìàêñèìóìà ýòîé ôóíêöèè îñóùåñòâëÿåòñÿ ñòàí-
äàðòíûì ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íàõîæäåíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíê-
öèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Îïóñêàÿ òðèâèàëüíûå àëãåáðàè÷åñêèå âûêëàä-
êè, ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ
àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
           n                       n                                   n
         1 X                 2   1 X                                1 X 2
                                      (X k − X) 2 − S 2k ,        2
                                                        
µ̂ = X =     X k,           τ̂ =                                σ̂ =     Sk .
         N                       N                                   N
             k=1                     k=1                                k=1

  Çàêàí÷èâàÿ ýòîò ïðèìåð, îòìåòèì, ÷òî äëÿ ìîäåëåé B-B è P-G îöåí-
êè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ê ñîæàëåíèþ, íå íàõîäÿòñÿ â ÿâíîì âè-

                                           57

Страницы