Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

θ
T =
P
n
1
X
k
, n θ ;
p ( t |θ ) T
G ϑ,
p
G
(t) =
Z
∞
0
p ( t |θ ) d G(θ) −
T.
äå. Ìîæíî, êîíå÷íî, ïîëó÷èòü ÿâíûå îöåíêè ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ èëè âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ âû÷èñëèòåëüíûìè ìåòîäàìè íàõîæäåíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíê-
öèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.

  Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëíîñòüþ
íå èçâåñòíî. Çäåñü ïîñòðîåíèå ýìïèðè÷åñêîãî àíàëîãà áàéåñîâñêîé ïðîöå-
äóðû âîçìîæíî äàëåêî íå âñåãäà. Ã. Ðîááèíñ â 1955 ãîäó âïåðâûå ïîñòðîèë
ýìïèðè÷åñêóþ áàéåñîâñêóþ îöåíêó äëÿ ïàðàìåòðà ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü.  ïîñëåäóþùåì ýòîò ïðèìåð
áûë ðàñïðîñòðàíåí íà çàäà÷ó îöåíêè â ðàìêàõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ýêñ-
ïîíåíöèàëüíîãî ñåìåéñòâà ïðè êâàäðàòè÷íûõ ïîòåðÿõ è ïðîâåðêè îäíîñòî-
ðîííèõ ãèïîòåç ïðè ñïåöèàëüíîé (ëèíåéíîé ïî ïàðàìåòðó) ôóíêöèè ïîòåðü.
Ðåøåíèå áûëî ïîëó÷åíî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî àïîñòåðèîðíûé ðèñê ìîæíî
áûëî âûðàçèòü â òåðìèíàõ ìàðãèíàëüíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè äîñòàòî÷íîé
ñòàòèñòèêè, êîòîðàÿ çàòåì îöåíèâàëàñü ïî àðõèâó äàííûõ. Ìû ðàññìîòðèì
äâà ïðèìåðà íà ïîñòðîåíèå íåïàðàìåòðè÷åñêîãî àíàëîãà áàéåñîâñêîé îöåí-
êè äëÿ äèñêðåòíîãî (ïðîöåäóðà Ðîááèíñà) è íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèé.


  Ïðèìåð 4.4   . Ýìïèðè÷åñêàÿ áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëå-
íèÿ Ïóàññîíà ïðè íåèçâåñòíîì àïðèîðíîì ðàñïðåäåëåíèè. Ðàññìàòðèâà-
åòñÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü P-G, ãäå âûáîð ïðîèñõîäèò èç ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïóàññîíà, à ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â áàéåñîâñêîé îöåíêå ïàðà-
ìåòðà èíòåíñèâíîñòè θ ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü.
  Êàê áûëî çàìå÷åíî âûøå, äëÿ ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âû-
áîðêè èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà T =
Pn
  1Xk , èìåþùàÿ òàêæå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì n θ ; ôóíê-
öèÿ ïëîòíîñòè p ( t | θ ) ñòàòèñòèêè T îïðåäåëÿëàñü ôîðìóëîé (4.1). Ïóñòü
G  àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ,
                              Z ∞
                    p G (t) =     p ( t | θ ) d G(θ) −
                                 0

ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ìàðãèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè T.
  Ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ðàâíà àïîñòåðè-
îðíîìó ñðåäíåìó, êîòîðîå äëÿ äàííîé ìîäåëè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäó-

                                     58

Страницы