Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
θ
G
= n
T
Z
∞
0
θ · θ
T
e
−n θ
d G( θ ) / [ T ! · p
G
( T ) ] =
( T + 1 )
n
· n
T +1
Z
∞
0
θ
T +1
e
−n θ
d G( θ ) / [ ( T + 1 ) ! · p
G
( T ) ] =
( T + 1 )
n
·
p
G
( T + 1 )
p
G
( T )
.
t T
θ.
ˆ
θ
G
, p
G
( t ) p
G
( t + 1 )
t
1
, . . . , t
N
T. N
t
, N
t+1
T
t t + 1 p
G
( t ) = P ( T = t ),
ˆp
G,N
( t ) =
N
t
N
, ˆp
G,N
( t + 1 ) =
N
t+1
N
,
ˆ
θ
G,N
=
( T + 1 )
n
·
N
t+1
N
t
.
T, t,
N + 1.
G ϑ
(θ, σ
2
)
σ
2
ϑ.
θ
ˆ
θ
G
( X ) =
√
n
√
2 π σ
Z
+∞
−∞
θ exp
−
n(X − θ)
2
2 σ
2
d G(θ) / p
G
( X ),
þùåì âèäå:
                            Z   ∞
             θ̂ G = n   T
                                    θ · θ T e−n θ d G( θ ) / [ T ! · p G ( T ) ] =
                            0
                            Z       ∞
      (T + 1)
              · nT +1                   θ T +1 e−n θ d G( θ ) / [ ( T + 1 ) ! · p G ( T ) ] =
         n                      0
                        ( T + 1 ) p G( T + 1 )
                                 ·             .
                            n       p G( T )
  Ïóñòü t  çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè T â òåêóùåì ýêñïåðèìåíòå, ïî íàáëþ-
äåíèÿì â êîòîðîì îöåíèâàåòñÿ ïàðàìåòð θ. ×òîáû âû÷èñëèòü çíà÷åíèå
áàéåñîâñêîé îöåíêè θ̂ G , íàéäåì îöåíêè âåðîÿòíîñòåé p G ( t ) è p G ( t + 1 )
ïî àðõèâó t1 , . . . , tN ïðåäûäóùèõ òåêóùåìó ýêñïåðìåíòó çíà÷åíèé ñòàòè-
ñòèêè T. Ïóñòü N t , N t+1  êîëè÷åñòâà çíà÷åíèé ñòàòèñòèêè T â àðõèâå,
êîòîðûå ðàâíû t è t + 1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó p G ( t ) = P ( T = t ),
òî èìååì ÷àñòîòíûå îöåíêè
                            Nt                           N t+1
                  p̂ G,N ( t ) =
                               ,      p̂ G,N ( t + 1 ) =       ,
                             N                            N
êîòîðûå îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå ýìïèðè÷åñêîé áàéåñîâñêîé îöåíêè
                                 ( T + 1 ) N t+1
                       θ̂ G,N =              ·         .
                                     n           Nt
   Íåáîëüøîå çàìå÷àíèå: äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü äåëåíèÿ íà íóëü, åñëè
â àðõèâå äàííûõ íå íàéäåòñÿ çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè T, ðàâíîå t, òî äîñòàòî÷-
íî âêëþ÷èòü ýòî çíà÷åíèå â àðõèâ, îáúåì êîòîðîãî ñòàíåò ðàâíûì N + 1.


  Ïðèìåð 4.5    . Ýìïèðè÷åñêàÿ áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîð-
ìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íåèçâåñòíîì àïðèîðíîì ðàñïðåäåëåíèè. Îáðà-
òèìñÿ ê ïðîáëåìå, ðàññìîòðåííîé â ïðèìåðå 4.3, êîãäà àïðèîðíîå ðàñïðåäå-
ëåíèå G ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ϑ íàáëþäàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èìåþùåé
íîðìàëüíîå (θ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå, ïîëíîñòüþ íå èçâåñòíî. Êàê áûëî ïîêà-
çàíî â ïðèìåðå 4.3, îöåíêà íåèçâåñòíîãî, îáùåãî äëÿ âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ
çíà÷åíèÿ äèñïåðñèè σ 2 äîñòàòî÷íî ïðîñòî îöåíèâàåòñÿ ïî àðõèâó äàííûõ
âíå çàâèñèìîñòè îò àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ϑ.
  Áàéåñîâñêàÿ îöåíêà θ ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü åñòü àïîñòåðè-
îðíîå ñðåäíåå, êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä
                    √     Z +∞
                                       n(X − θ)2
                                                
                       n
      θ̂ G ( X ) = √           θ exp −             d G(θ) / pG ( X ),
                     2 π σ −∞            2 σ2

                                                    59

Страницы