Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
p
G
( x ) =
√
n
√
2 π σ
Z
+∞
−∞
exp
−
n(x − θ)
2
2 σ
2
d G( θ ) .
p
0
G
( x ) =
√
n
√
2 π σ
Z
+∞
−∞
n (θ − x)
σ
2
exp
−
n(x − θ)
2
2 σ
2
d G( θ ) =
n
σ
2
p
G
( x )
h
ˆ
θ
G
( x ) − x
i
,
X x,
ˆ
θ
G
( x ) =
σ
2
n
d
d x
ln p
G
( x ) + x .
θ p
G
( x )
X x
1
, . . . , x
N
N X
1
, . . . , X
N
.
ˆp
G,N
(x) =
1
N h
N
X
k=1
K
x − X
k
h
,
h K( ·)
T, ϑ
α + T n + β − T.
θ
T,
ϑ λ + T n + a.
θ
ãäå ìàðãèíàëüíàÿ ïëîòíîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî X âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîð-
ìóëå                       √       Z +∞
                                                     n(x − θ)2
                                                               
                              n
            p G( x ) = √                  exp −                   d G( θ ) .
                           2 π σ −∞                    2 σ2
  Ïîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ ìàðãèíàëüíîé ïëîòíîñòè
                    √       Z +∞
                                                         n(x − θ)2
                                                                   
        0             n            n (θ − x)
      p G( x ) = √                             exp −                  d G( θ ) =
                    2 π σ −∞            σ2                   2 σ2
                              n           h                i
                                 p G ( x ) θ̂ G ( x ) − x ,
                              σ2
òî çíà÷åíèå áàéåñîâñêîé îöåíêè, êîãäà ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ âûáîðî÷íîãî
ñðåäíåãî X â òåêóùåì ýêñïåðèìåíòå ðàâåí x, ïðèîáðåòàåò âèä
                                      σ2 d
                        θ̂ G ( x ) =          ln p G ( x ) + x .
                                       n dx
  Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ýìïèðè÷åñêîé áàéåñîâñêîé îöåíêè
θ ñâîäèòñÿ ê äîñòàòî÷íî ãëàäêîé îöåíêå ôóíêöèè ïëîòíîñòè p G ( x ) ìàð-
ãèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ X ïî ðåçóëüòàòàì x1 , . . . , xN íàáëþäåíèé ýòîé
ñòàòèñòèêè â ïðåäûäóùèõ N ýêñïåðèìåíòàõ, òî åñòü ïî àðõèâó X 1 , . . . , X N .
Îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ ÿäåðíàÿ îöåíêà ïëîòíîñòè
                                      N                 
                                   1 X          x − Xk
                     p̂ G,N (x) =      K                     ,
                                  Nh               h
                                     k=1
ãäå h ñïåöèàëüíî ïîäáèðàåìîå ÷èñëî, à K( · )  ÿäðî îöåíêè, êîòîðîå òàêæå
òðåáóåò ñïåöèàëüíîé êîíêðåòèçàöèè. Îöåíêà ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîñòàâëÿ-
åò îòäåëüíóþ, äîñòàòî÷íî ñëîæíóþ çàäà÷ó, êîòîðîé ïîñâÿùàþòñÿ áîëüøèå
ìîíîãðàôèè.

                            Çà÷åòíûå çàäàíèÿ


1.  ðàìêàõ ìîäåëè B-B, íå âû÷èñëÿÿ ìàðãèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äîñòà-
    òî÷íîé ñòàòèñòèêè T, äîêàæèòå, ÷òî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ϑ
    åñòü áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α + T è n + β − T. Íàéäèòå
    áàéåñîâñêóþ îöåíêó çíà÷åíèÿ θ ïðè êâàäðàòè÷íûõ ïîòåðÿõ.

2.  ðàìêàõ ìîäåëè PG, íå âû÷èñëÿÿ ìàðãèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äî-
    ñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè T, äîêàæèòå, ÷òî àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå
    ϑ åñòü ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè λ + T è n + a. Íàéäèòå
    áàéåñîâñêóþ îöåíêó çíà÷åíèÿ θ ïðè êâàäðàòè÷íûõ ïîòåðÿõ.

                                       60

Страницы