Лекции по теории статистических выводов. Володин И.Н. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
D, L(θ, d) P = {P ( ·|θ), θ ∈ Θ},
X ρ =
(ϕ
s
, ϕ
c
) R(ϕ |θ) = E
θ
L(θ, δ(X)),
θ ∈ Θ, ϕ, δ = δ(X)
ϕ
d
ρ
ϕ
d
ϕ
d
ϕ = (ρ, ϕ
d
)
d ϕ
d
ϕ
∗
θ∈Θ
R( ϕ
∗
|θ) 6
θ∈Θ
R( ϕ |θ),
                §   5.   Ìèíèìàêñíûå ðåøåíèÿ

  Ìåòîäû ìèíèìèçàöèè àïðèîðíîãî ðèñêà, êîòîðûå áûëè ïðåäñòàâëåíû â
ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ñëóæàò îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì â ðåøåíèè äî-
âîëüíî áîëüøîãî êðóãà çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ïðîöåäóð ñòàòè-
ñòè÷åñêîãî âûâîäà. Âî ìíîãîì ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî áàéåñîâñêèå ðå-
øåíèÿ è èõ ñëàáûå ïðåäåëû, (çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ àïðèîðíîãî ðàñïðåä-
ëåíèÿ óñòðåìëÿþòñÿ ê îïðåäåëåííûì ïðåäåëàì, ÷àùå âñåãî, ê áåñêîíå÷íî-
ñòè) îáðàçóþò êëàññ òàê íàçûâàåìûõ äîïóñòèìûõ ðåøåíèé: íå ñóùåñòâó-
åò ïðàâèë ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, ôóíêöèÿ ðèñêà êîòîðûõ ðàâíîìåðíî ëó÷øå
áàéåñîâñêîãî. Êîíå÷íî, ýòî óòâåðæäåíèå, äîêàçàííîå À.Âàëüäîì â ïåðâîé
ïîëîâèíå ïðîøëîãî âåêà, ñïðàâåäëèâî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà ïà-
ðàìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé è ôóíêöèþ ïîòåðü, íî
ýòè óñëîâèÿ ïðàêòè÷åñêè âñåãäà âûïîëíèìû â êîíêðåòíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèÿõ. Â ýòîì ïàðàãðàôå áóäóò ðàçðàáàòûâàòüñÿ ìåòîäû ïîñòðî-
åíèÿ ïðàâèë ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ, êîòîðûå ìèíèìèçèðóþò íàèáîëüøåå çíà-
÷åíèå ôóíêöèè ðèñêà. Ñïåöèàëüíûé âûáîð àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, íå
ñâÿçàííûé ñî ñïåöèôèêàöèåé âûðîÿòíîñòíîé ìîäåëè, ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äëÿ
ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷.
  Ðàññìîòðèì îáùóþ ñòàòèñòè÷åñêóþ ïðîáëåìó ñ ïðîñòðàíñòâîì ðåøåíèé
D, ôóíêöèåé ïîòåðü     L(θ, d) è ñåìåéñòâîì P = {P ( · | θ), θ ∈ Θ}, âîçìîæ-
íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîé âûáîðêè X äëÿ çàäàííîãî óïðàâëåíèÿ ρ =
(ϕs , ϕc ) ñòàòèñòè÷åñêèì ýêñïåðèìåíòîì. Ïóñòü R(ϕ | θ) = Eθ L(θ, δ(X)),
θ ∈ Θ,  ôóíêöèÿ ðèñêà ïðîöåäóðû ϕ, è δ = δ(X)  ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ïðàâèëó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ϕd ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ. Êàê è â ïðåäûäóùåì
ïàðàãðàôå, óïðàâëåíèå ρ áóäåò ñ÷èòàòüñÿ ôèêñèðîâàííûì (çàäàííûì), à
ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ϕd áóäåò îïðåäåëÿòñÿ êàê ðåøåíèå íåêîòîðîé
çàäà÷è íà ýêñòðåìóì.  ñâÿçè ñ ýòèì âûáîð ïðàâèëà ϕd îòîæäåñòâëÿåòñÿ
ñ çàäàíèåì âñåé ïðîöåäóðû ϕ = (ρ, ϕd ) ñòàòèñòè÷åñêîãî âûáîðà, òàê ÷òî
èíäåêñ d â çàïèñè ïðàâèëà ϕd áóäåò îïóñêàòüñÿ.
  Îïðåäåëåíèå 5.1.       Ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ ϕ∗ íàçûâàåòñÿ ìèíè-
ìàêñíûì, åñëè
                         sup R( ϕ∗ | θ) 6 sup R( ϕ | θ),
                         θ∈Θ                θ∈Θ

                                       62

Страницы